空间图形的表面积和体积是三维几何中的基本概念，它们在数学、物理和工程学等多个领域都有着广泛的应用。以下是对这些知识点的详细说明：
一、外表积
外表面积是指一个三维几何体所有表面的面积之和。对于不同形状的空间图形，求外表面积的方法各异：
1. 正四面体的外表面积：由4个等腰三角形组成，可通过计算单个三角形面积再乘以4来得到。
2. 球体的外表面积：球体的表面积公式为\( A = 4\pi r^2 \)，其中\( r \)是球的半径。若表面积扩大2倍，则半径也扩大2倍，但体积会扩大8倍，因为体积公式\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)是半径的三次方。
二、体积
1. 直接法：适用于形状规则的几何体，例如棱锥，可以直接应用体积公式。如题中棱锥POE的体积，可以利用\( V = \frac{1}{3} \times 底面积 \times 高 \)来计算。
2. 换底法/等积法：当几何体的一部分与另一部分等积时，可以通过变换底面面积来求解体积。例如，三棱锥B-ACB1的体积，可以将底面ABC转换为底面B1AC来求解。
3. 分割法：将复杂几何体分解成若干简单几何体，分别计算体积后再相加。例如，斜三棱柱ABC-A1B1C1可以通过分割成多个小棱柱或椎体来求体积。
4. 补形法：通过添加几何体形成一个新的整体，然后求整体体积再减去添加部分的体积。例如，求三棱锥CCDB1的体积，可以将其与直三棱柱ABC-A1B1C1的其余部分合并，形成一个完整的直三棱柱，然后减去其他部分的体积。
三、球内切/外接问题
1. 正四面体的外接球和内切球半径：正四面体的外接球半径等于棱长的一半，而内切球半径等于棱长的\(\sqrt{6}/3\)。
2. 球与正方体的关系：
- 内切球：球与正方体的每个面相切，球心位于正方体中心，半径等于正方体棱长的一半。
- 与棱相切的球：球与每条棱的中点相切，半径等于正方体边长的\(\sqrt{2}/2\)。
- 外接球：球经过正方体的8个顶点，半径等于正方体面对角线长度的一半。
四、球与棱柱的组合体问题
对于正棱柱与球的组合，关键在于确定球的位置和半径。对于外接球，球心通常位于上下底面中心连线的中点，通过构造直角三角形来求解半径。
五、组合体的体积比与表面积比
在例4中，正三棱柱的外接球与内切球的体积比和表面积比，可以通过球的体积公式\( V = \frac{4}{3}\pi r^3 \)和表面积公式\( A = 4\pi r^2 \)来计算，同时考虑球与正三棱柱各面的接触关系。
通过上述方法，我们可以解决各种复杂的空间图形表面积和体积问题，无论是理论分析还是实际应用，这些知识都是必不可少的工具。进行这类问题的解答时，理解并灵活运用这些公式和技巧是关键。
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