《直线的参数方程》是数学选修4-4中坐标系与参数方程的一个重要章节，由稻田中学陶玉玲老师授课。本节主要探讨了如何利用参数方程来表示直线，以及参数方程在直线上的应用。
直线的参数方程是在直线上任取一点M(x, y)，通过引入参数t来描述直线上的点的位置。对于已知的直线过点M0(x0, y0)，倾斜角α，我们可以建立直线的参数方程。设定单位方向向量为e=(cosα, sinα)，则直线上的点M可以用参数t来表示为M(t) = M0 + t * e，其中t∈R。这里的t称为参数，它代表了从定点M0到直线上的任意点M的向量的长度。
当t>0时，参数向量M(t)的方向是从M0指向M；当t<0时，方向相反；若t=0，则点M与M0重合。参数t的绝对值|t|代表了M与M0之间的距离，也就是直线上动点M到定点M0的长度。
参数方程中的参数t还有几何意义，它等于向量M(t)与M0之间的夹角α的余弦值乘以向量M(t)的长度，即|M(t)| = |t|。由于e是单位向量，|e|=1，所以我们有|M(t)| = |t| * |e|。这意味着，对于直线上任意两点A(t1)和B(t2)，它们之间的距离可以由参数t1和t2的差值得出，即|t2 - t1|。
在实际问题中，例如求直线上的两点M1(t1)和M2(t2)的中点M的参数值，可以通过中点公式来计算。线段M1M2的中点M对应的参数值tM满足tM = (t1 + t2)/2。这在解决诸如弦长计算、中点坐标等问题时非常有用。
举例来说，如果直线的参数方程为x = f(t), y = g(t)，曲线上两点A和B对应的参数分别为t1和t2，那么这两点间的距离是|g(t2) - g(t1)| / sqrt[1 + (f'(t))²]。如果定点P是线段AB的中点，那么点P的参数值tp满足tp = (t1 + t2) / 2。
总结来说，直线的参数方程提供了一种灵活的方式来表示和研究直线上的点，尤其是在解决与直线相关的距离、方向和位置问题时。参数t不仅表示点的位置，还与向量和距离的概念紧密相连，是解析几何中不可或缺的一部分。通过深入理解和应用参数方程，我们可以更有效地解决与直线相关的问题。
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