### 2009年考研数学一大纲知识点详解
#### 高等数学部分
##### 一、函数、极限、连续
1. **函数的概念及表示法**
- 函数是两个集合之间的一种特殊对应关系，其中每个输入都有唯一确定的输出。
- 函数可以采用解析式、图像或列表等形式来表示。
2. **函数的基本性质**
- **有界性**：如果函数在某区间上的值不会超出某个范围，则称该函数在该区间上有界。
- **单调性**：函数在其定义域内的某些区间上可以是单调增加或单调减少的。
- **周期性**：如果存在非零实数T，使得对所有定义域内的x，f(x + T) = f(x)，则称函数f是周期函数，T是其周期。
- **奇偶性**：函数f关于原点对称（f(-x) = -f(x)）称为奇函数；关于y轴对称（f(-x) = f(x)）称为偶函数。
3. **复合函数、反函数及分段函数的概念**
- **复合函数**是指将一个函数的输出作为另一个函数的输入。
- **反函数**指对于原函数y=f(x)，如果存在函数g使得g(f(x))=x，则g称为f的反函数。
- **分段函数**指在不同区间上定义不同的函数表达式的函数。
4. **基本初等函数的性质及其图形**
- 包括幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等。
- 掌握这些函数的基本性质及其图像特征。
5. **极限的概念**
- 极限描述了函数在接近某一特定值时的行为。
- 左极限与右极限分别是从左侧和右侧趋近于某一点时函数的极限值。
6. **极限的性质与运算**
- 极限的性质包括唯一性、局部有界性等。
- 四则运算法则是指加减乘除运算规则。
7. **重要极限及其应用**
- 两个重要极限分别是\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \] 和 \[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 \]。
- 这些极限在求解其他更复杂的极限问题时非常有用。
8. **无穷小量与无穷大量的概念**
- 无穷小量是指随着变量的变化趋于零的量。
- 无穷大量是指随着变量的变化而无限增大的量。
9. **函数的连续性**
- 函数在某一点处连续意味着在该点处函数值与其极限值相同。
- 了解闭区间上连续函数的性质，如介值定理等。
10. **初等函数的连续性**
- 初等函数在其定义域内通常是连续的。
#### 二、一元函数微分学
1. **导数的概念**
- 导数是函数在某一点处的瞬时变化率。
- 理解导数的几何意义和物理意义。
2. **导数的计算**
- 掌握基本初等函数的导数公式。
- 学习复合函数、反函数等的求导法则。
3. **微分的概念**
- 微分是对函数增量的一种近似表示。
4. **微分中值定理及其应用**
- 如罗尔定理、拉格朗日中值定理等。
- 使用洛必达法则求解未定式极限问题。
5. **函数的极值与最值**
- 掌握判断函数单调性和极值的方法。
- 应用导数求解实际问题中的最大值和最小值。
6. **函数图形的描绘**
- 使用导数判断函数图形的凹凸性。
- 绘制函数的图形，包括拐点和渐近线。
7. **曲率的概念**
- 了解曲率的计算方法。
#### 三、一元函数积分学
1. **不定积分与定积分的概念**
- 不定积分是没有指定积分区间的积分。
- 定积分是限定在一定区间上的积分。
2. **积分的基本性质与运算**
- 掌握不定积分和定积分的性质。
- 学习换元法与分部积分法。
3. **反常积分**
- 掌握反常积分的概念及其计算方法。
4. **积分的应用**
- 计算几何量（如面积、体积等）。
- 计算物理量（如功、引力等）。
#### 四、向量代数和空间解析几何
1. **向量的基本概念**
- 向量是既有大小又有方向的量。
- 掌握向量的线性运算、数量积、向量积等。
2. **空间坐标系**
- 理解空间直角坐标系。
3. **曲面与空间曲线**
- 曲面方程、空间曲线方程的概念。
- 常见的空间曲面方程及其图形。
4. **平面与直线**
- 平面方程与直线方程。
- 平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的位置关系。
通过上述详细阐述，我们可以看到2009年考研数学一的大纲涵盖了高等数学的基础内容，从函数、极限、连续到一元函数的微分与积分学，再到向量代数和空间解析几何，都是高等数学学习的重要组成部分。希望这些知识点能帮助考生更好地准备考试。
