【平面应力问题】
平面应力问题是指物体内部的应力状态仅包含两个正应力分量（例如，σ_x、σ_y）和两个剪应力分量（τ_xy、τ_yx），通常发生在厚度远小于其长宽的薄板结构中。在这种情况下，应力不随厚度方向（z轴）变化，例如，当薄板受到平行于板面的面力和体力作用时，沿z轴的应力σ_z等于零。由于板很薄，可以忽略沿z轴的应力和应变，使得问题简化为二维问题，只涉及xy平面上的应力和应变。
平面应力问题的特点：
1. 板的长宽尺寸远大于其厚度。
2. 板边受有平行于板面的面力，且沿厚度方向均匀分布，体力也平行于板面且不随厚度变化。
3. 平板的前后表面不受外力作用。
平面应力问题的应力和应变分量：
在xy坐标系下，应力只有σ_x、σ_y和τ_xy，而应变也只有ε_xx、ε_yy和γ_xy，它们都仅与x和y坐标有关，与z坐标无关。
【平面应变问题】
平面应变问题主要涉及物体在某一方向的尺寸远大于其他两个方向，比如水坝或受内压的圆柱管道。在这种问题中，变形仅发生在xy平面内，沿z方向没有变形。物体的几何形状和尺寸沿z方向不变化，外力和约束也平行于横截面且沿z方向恒定。
平面应变问题的特点：
1. 一个方向的尺寸远大于其他两个方向。
2. 外力（包括体力和面力）平行于横截面作用，且沿长度方向不变。
3. 应力和位移分量只与x和y坐标有关，与z坐标无关。
平面应变问题的应力和应变特点：
尽管平面应变问题中σ_z也为零，但应变分量ε_xx、ε_yy不为零，而ε_zy和ε_zx都为零，因为变形仅发生在xy平面上。
【求解平面问题的方法】
解决平面问题通常涉及三个方面：
1. 静力学关系：通过平衡微分方程建立力和应力之间的关系。
2. 几何学关系：通过几何方程连接应力、应变与位移。
3. 物理学关系：利用物理方程（如胡克定律）描述应力和应变之间的联系。
解决问题时，需要考虑边界条件，包括应力边界条件（指定面上的应力）、位移边界条件（指定面上的位移）和混合边界条件（同时指定应力和位移）。
平衡微分方程是分析应力平衡的关键，无论平面应力问题还是平面应变问题，都涉及到在xy平面上的分析，所有物理量与z无关。通过微小单元体分析，可以推导出平衡微分方程，例如，对于微小长方形单元体，可以利用泰勒级数展开分析两侧面上的应力差，进而导出平衡条件。
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