运筹学 图与网络分析PPT学习教案.pptx

运筹学中的图与网络分析是优化问题解决中的一种重要工具，主要研究如何通过图形理论来建模和解决实际问题。以下将详细讲解其中的概念和关键知识点。 图（Graph）是由顶点（Vertex）和边（Edge）组成的结构。在运筹学中，图常用于表示对象之间的关系或连接。例如，在物流网络中，节点可以代表仓库或配送中心，边则表示它们之间的运输路径。 1. 链（Path）：链是图中的一系列连续边，使得每条边的起点是前一条边的终点。在链中，第一个和最后一个顶点被称为端点，其余的称为中间点。一个简单的链是指所有顶点都是不同的，没有重复。 2. 圈（Cycle）：如果链的起始点和结束点是同一个顶点，那么这个链就构成了一个圈。在圈中，所有边首尾相连形成一个闭合路径。 3. 连通图（Connected Graph）：在一个图中，如果任意两个顶点之间都存在至少一条链，则称此图是连通图。这意味着图中的每个顶点都可以通过一系列边到达其他任何顶点。 4. 树（Tree）：无圈的连通图被称为树。树的特性包括： - 充分必要条件：在树中，任意两个顶点间恰好有一条链。 - 边的数量：在树中，边的数量比顶点的数量少1，即边数 = 顶点数 - 1。 - 剪枝与添枝：删除树中任意一条边将导致图不连通，而向不相邻的顶点添加边会形成一个圈。 5. 支撑树（Spanning Tree）：对于一个给定的图，支撑树是其的一个子集，且这个子集仍保持树的性质。换句话说，支撑树包含原图的所有顶点，但只包含足够多的边使得这些顶点仍然是连通的。 6. 最小支撑树（Minimum Spanning Tree, MST）：在赋权图中，每个边都有一个权重。最小支撑树是图的所有支撑树中，边权重之和最小的那个。求解最小支撑树有多种算法，如： - Kruskal算法：按边的权重从小到大排序，依次选择边加入到当前的树中，但要避免形成圈。 - Prim算法：从一个顶点开始，每次添加一条与当前树中顶点相连且权重最小的边，直到所有顶点都被包含。 这些概念在运筹学中尤其适用于网络流问题、设施布局优化、最短路径问题等领域，通过构建适当的图模型，可以利用图论的方法求解最优解。例如，最小支撑树在设计通信网络、电力网络布局等方面有着广泛的应用，它可以帮助找到连接所有节点的最低成本方案。