【极限运算法则】
在数学分析中，极限运算法则为我们提供了一套处理函数极限的规则，这些规则有助于我们计算和理解复杂数学表达式的极限。以下是一些基本的极限运算法则：
1. **乘法规则**：如果两个函数`lim f(x)`和`lim g(x)`分别趋向于常数`α`和`β`，那么它们的乘积`lim (f(x) * g(x))`也会趋向于`α * β`。
2. **加法规则**：类似地，如果`lim f(x)`和`lim g(x)`都趋向于常数`α`和`β`，则`lim (f(x) + g(x))`趋向于`α + β`。
3. **减法规则**：如果`lim f(x)`趋向于`α`，`lim g(x)`趋向于`β`，那么`lim (f(x) - g(x))`趋向于`α - β`。
4. **除法规则**：如果`lim f(x)`趋向于`α`（`α ≠ 0`），`lim g(x)`趋向于非零常数`β`，那么`lim (f(x) / g(x))`趋向于`α / β`。但是，如果`β = 0`，则需要额外的条件才能确定商的极限。
5. **保号定理**：如果`f(x) ≥ 0`且`g(x) ≥ 0`对所有`x`都成立，并且`lim g(x)`趋向于非零常数`α`，那么`lim (f(x) / g(x))`同样具有相同的符号。
6. **复合函数的极限**：如果`lim (f(x))`趋向于`α`，且`lim (g(α))`存在（可以是无穷大或无穷小），那么`lim (g(f(x)))`也存在并等于`g(lim (f(x)))`。
7. **无穷小与无穷大的关系**：当一个函数的极限是无穷大时，另一个函数的极限如果是有限值，那么这两个函数的乘积的极限将是无穷大。
8. **消去零因子法**：在求极限时，如果因子是无穷小且不为零，可以先约去它，然后再求剩余部分的极限。
9. **无穷小因子分出法**：如果分母和分子都有无穷大极限，可以先去除无穷小因子，然后分别求剩余部分的极限。
10. **无穷小和的极限**：如果一系列函数的极限都是无穷小，它们的和的极限也是无穷小，且和的阶是这些无穷小的最高阶。
11. **有界函数与无穷大的乘积**：当一个函数在某区间内是有界的（例如，正弦函数`sin(x)`），而另一个函数的极限趋向于无穷大，那么它们乘积的极限也是无穷大。
12. **单侧和双侧极限**：在求函数的极限时，不仅要注意两侧极限是否相等，还要考虑是否存在，特别是在分段函数的情形下。
这些规则是解决涉及极限问题的基本工具，适用于求解复杂函数表达式的极限，以及在微积分中进行连续性、导数和积分的讨论。了解和掌握这些法则对于理解和应用数学分析至关重要。
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