理学高数向量及其线性运算PPT学习教案.pptx

【向量的概念与性质】 向量，又称为矢量，是数学中的一种量，它具有大小（模）和方向两个属性。向量可以用来描述物理现象中的力、速度、位移等，它们不仅告诉你量的大小，还告诉你方向。向量的起点可以是任意点，但如果起点固定，我们称之为向径。当起点设为原点时，向量被称为自由向量。 - **模**：向量的大小，表示向量的长度。单位向量是模为1的向量。 - **零向量**：模为0的向量，通常用0或表示。 - **相等向量**：大小相等且方向相同的两个向量视为相等，记作a=b。 - **平行向量**或**共线向量**：如果两个向量的方向相同或相反，那么它们是平行的，记作a∥b。零向量与任何向量都平行。 【向量的线性运算】 向量的线性运算是向量理论中的基础操作，包括向量的加法、减法和数乘。 1. **向量的加法**：有两种常见表示法，三角形法则和平行四边形法则。加法满足交换律和结合律，可以推广到多个向量相加。 2. **向量的减法**：减法相当于加法的逆运算，例如ab=ba，且ab=0表示a与b方向相反。减法同样遵循结合律和交换律。 3. **向量与数的乘法**：数乘向量会产生一个新的向量。若λ是正数，向量的方向不变；若λ是负数，方向相反；若λ=0，结果是零向量。数乘也满足结合律和分配律。 【空间直角坐标系】 空间直角坐标系是描述三维空间中点的位置的工具，由三条相互垂直的数轴——x轴、y轴和z轴构成。每个点M在坐标系中可以表示为一个有序数组 (x, y, z)，称为点M的坐标。坐标轴上的点如P(x, 0, 0)、Q(0, y, 0)和R(0, 0, z)，以及坐标面上的点A(x, 0, 0)、B(0, y, 0)和C(0, 0, z)。此外，空间被划分为八个卦限。 通过这些基本概念，我们可以进行向量在空间直角坐标系中的表示和计算，这对于理解和解决物理学、工程学及计算机图形学等领域的问题至关重要。向量的线性运算使得我们可以对向量进行组合，从而描述更复杂的运动和力的作用。