【向量的基本概念】
向量是数学中一种既有大小又有方向的量，它在物理学、工程学、计算机科学等多个领域有着广泛的应用。向量可以用有向线段来表示，其中的长度代表向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
1. **相等向量**：如果两个向量的大小相等且方向相同，那么这两个向量就被称为相等向量。例如，长度相等且方向一致的有向线段表示的向量是相等的。
2. **平行（共线）向量**：当两个向量的有向线段所在直线平行或重合时，我们称这两个向量是平行或共线的。平行向量可能方向相同也可能方向相反。
【向量的加法】
向量的加法是将两个或多个向量合并成一个新向量的过程。这里有两种基本的加法规则：
1. **三角形法则**：将两个向量首尾相连，新向量从第一个向量的起点指向第二个向量的终点，即为两向量的和。
2. **平行四边形法则**：将两个向量平移到同一起点，然后找到由这两个向量为邻边的平行四边形，这个平行四边形的对角线就是这两个向量的和。
向量加法满足以下两个运算律：
- **加法交换律**：对于任何两个向量a和b，a + b = b + a。
- **加法结合律**：对于三个向量a, b, c，(a + b) + c = a + (b + c)。
【向量加法的推广】
向量加法不仅限于两个向量的加法，可以推广到多个向量的加法。如果有n-1个向量依次首尾相接，那么以第一个向量的起点为起点，最后一个向量的终点为终点的向量就是这n-1个向量的和。
【封闭折线的向量和】
在平面内，如果n个向量依次首尾连接形成一条封闭的折线，那么这n个向量的和为零向量。这是因为起点和终点相同，相当于整个路径形成了一个闭合的环，最后回到起点，所以向量和为零。
【应用实例】
向量加法在实际问题中也有应用，比如在物理中的位移计算。例如，2008年之前的两岸直航问题，从台北到上海的直飞位移与先到香港再到上海的两次位移的合位移是相等的，这就是向量加法的实际应用。
【共线向量的加法】
当向量共线时，即方向相同或相反，它们的加法也有特定规则。方向相同向量的和仍然是同方向的向量；方向相反的向量相加，如果一个向量的大小恰好等于另一个，它们的和可能是零向量。
【小船过河问题】
小船过河的实际航行速度是其垂直河岸方向的速度和河水流动速度的矢量合成。通过向量加法，可以求得小船实际航行的速度，这是向量加法在解决实际问题中的一个例子。
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