正定矩阵概念及例题PPT学习教案.pptx

### 正定矩阵概念及例题解析 #### 一、正定矩阵与二次型的基本概念 **正定矩阵**和**正定二次型**在数学分析、线性代数等领域有着广泛的应用。它们不仅是理论研究的重要组成部分，也在工程计算、经济学、物理学等多个领域发挥着重要作用。 **定义1**：一个实二次型\(f(x_1, x_2, \ldots, x_n)\)被称为**正定**，如果对于所有非零向量\(x = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T\)，都有\(f(x) > 0\)。相应的，如果一个实对称矩阵\(A\)满足上述条件，那么称\(A\)为**正定矩阵**。 **定义2**：如果对于所有非零向量\(x\)，都有\(f(x) < 0\)，则称\(f\)为**负定二次型**，并称对应的对称矩阵\(A\)为**负定矩阵**。 **定理11（惯性定理）**：对于一个实二次型，如果它可以通过一系列实的可逆变换化为标准形，那么该标准形中正系数的个数（即正惯性指数）是固定的，不会因变换的不同而改变。 **定理12**：一个实二次型为正定的充分必要条件是其标准形中的所有系数都是正数。同样地，对称阵\(A\)为正定的充分必要条件是\(A\)的所有特征值都是正数。 **定理13**（霍尔维茨定理）：对称阵\(A\)为正定的充分必要条件是\(A\)的所有各阶主子式都为正。相应地，如果\(A\)的奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，则\(A\)为负定。 #### 二、正定性的判定方法 1. **特征值法**：计算对称矩阵\(A\)的所有特征值。如果\(A\)的所有特征值都是正数，则\(A\)是正定的；如果所有特征值都是负数，则\(A\)为负定的。 2. **主子式法**：计算\(A\)的所有各阶主子式。如果所有各阶主子式都是正数，则\(A\)是正定的；如果奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则\(A\)为负定的。 #### 三、例题解析 **例16**：判定对称矩阵\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \] 的正定性。 - **方法一**：计算\(A\)的所有特征值。特征多项式为\(\lambda^2 - 3\lambda + 3\)，解得两个特征值为\(\lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{-3}}{2}\)，\(\lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{-3}}{2}\)，两者均为正数，故\(A\)为正定。 - **方法二**：计算\(A\)的所有各阶主子式。一阶主子式为\(1\)，二阶主子式为\(\det(A) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 1\)，均为正数，故\(A\)为正定。 **例17**：判定二次型\(f(x_1, x_2) = x_1^2 - 2x_1x_2 + 2x_2^2\)的正定性。 - 解：二次型对应的矩阵为\[ A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \] 计算\(A\)的所有各阶主子式。一阶主子式为\(1\)，二阶主子式为\(\det(A) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot (-1) = 1\)，均为正数，故\(f\)为正定二次型。 **例18**：设二次型\(f(x_1, x_2, x_3) = 2x_1^2 + x_2^2 + 3x_3^2 + 4x_1x_2 - 2x_2x_3\)。 - 解：计算对应的矩阵\(A\)及其各阶主子式。一阶主子式为\(2, 1, 3\)，二阶主子式为\(2, 5\)，三阶主子式为\(\det(A) = 2 \cdot 1 \cdot 3 + 4 \cdot (-2) \cdot (-2) - 4 \cdot 1 \cdot 3 - 2 \cdot 4 \cdot 1 - 2 \cdot (-2) \cdot 2 = 2\)。所有各阶主子式均为正数，故\(f\)为正定二次型。 **例19**：证明如果实对称矩阵\(A\)是正定的，那么对于任何满秩矩阵\(C\)，\(C^TAC\)也是正定的。 - 证明：因为\(A\)为正定，所以对于任意非零向量\(x\)，有\(x^TAx > 0\)。令\(y = Cx\)，则\(y^T(C^TAC)y = (Cx)^TA(Cx) = x^TAx > 0\)。因此，\(C^TAC\)也是正定的。 以上内容为我们理解正定矩阵与正定二次型提供了基础，并通过具体例题加深了对这些概念的理解。