在初一数学思维训练中，学生们会接触到一系列与整数奇偶性相关的概念和性质，这对于他们的逻辑思维和问题解决能力的培养至关重要。我们要理解什么是偶数和奇数。偶数是能够被2整除的数，可以用2n表示，其中n是整数，比如0, ±2, ±4, ±6等。而奇数则是不能被2整除的数，由2n+1表示，例如±1, ±3, ±5等。
接下来，我们探讨整数奇偶性的基本性质：
1. 当偶数与偶数相加时，结果仍然是偶数。
2. 奇数与奇数相加得到的是偶数。
3. 偶数与奇数相加得到的是奇数。
4. 任何整数与偶数相乘的结果仍然是偶数。
5. 奇数与奇数相乘的结果是奇数。
6. 如果a±b是偶数，那么a和b的奇偶性相同；如果a±b是奇数，那么a和b的奇偶性相反。
7. 奇数个奇数相加（或相减）的结果是奇数；偶数个奇数相加（或相减）的结果是偶数。
8. 任意n个奇数的乘积仍然是奇数，奇数的n次幂也是奇数。
9. 如果n个整数的乘积为奇数，那么这n个数都是奇数。
10. 如果n个整数中有至少一个偶数，那么它们的乘积是偶数；反之，如果乘积是偶数，那么这些因数中至少有一个偶数。
基于这些性质，我们可以解决一些相关的问题。例如，题目中的第一个问题提出了一个问题：桌子上有3只杯子，杯口都向上，每次翻动2只，是否能经过有限次翻动使所有杯子杯口朝下。这个问题实际上可以通过奇偶性来解答，因为每次翻动改变2只杯子的状态，所以翻动的次数必须是奇数才能达到所有杯子都朝下的状态，因为初始状态是奇数个杯子朝上。
第二个问题涉及四个整数a, b, c, d的奇偶性。题目指出，如果a+b+c+d为奇数，那么至少有一个奇数，这同样利用了奇偶性的性质。而第三个问题是关于互赠贺卡的，无论人数多少，贺卡总数总是偶数，这是因为每个人送出和收到的贺卡数量相同，相当于每对朋友之间进行了两次交换，所以总次数是偶数。
问题4至问题6进一步展示了奇偶性在实际问题中的应用，包括整数乘积的奇偶性分析，以及通过奇偶性判断问题的可行性。例如，问题6涉及到的黑板上数字的变化，利用奇偶性可以排除某些可能的情况。
在问题7中，涉及的是灯的开关问题，这涉及到周期性变化的概念。每拉一次开关，灯的状态会发生改变，但如果拉的次数是灯的开关周期的倍数，灯的状态会回到最初。对于问题8，俱乐部成员的问题，利用逻辑推理，我们可以判断李四是否是老实人，因为老实人两旁是骗子，骗子两旁是老实人，张三的回答与俱乐部人数的实际情况矛盾，这说明张三是骗子，而李四说张三是老实人，根据规则，李四也是骗子。
通过这些实例，我们可以看到初一数学思维训练中的整数奇偶性是一个重要的概念，它不仅加深了学生对整数的理解，还锻炼了他们的逻辑思维和问题解决技巧。
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