**二阶常系数齐次线性微分方程详解**
二阶常系数线性微分方程是微积分中一种重要的方程类型，通常表示为：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p(x)\frac{dy}{dx} + q(x)y = 0 \]
对于齐次线性方程，其中 \( p(x) \) 和 \( q(x) \) 是常数，方程简化为：
\[ \frac{d^2y}{dx^2} + p\frac{dy}{dx} + qy = 0 \]
这是我们要关注的重点。这种方程的标准形式为：
\[ y'' + py' + qy = 0 \]
解这类方程的关键在于找到它的特征方程，它是一个二次多项式：
\[ r^2 + pr + q = 0 \]
特征方程的根决定了微分方程的解的形式。
1. **特征根为两个不相等的实根**：
如果特征方程的根为 \( r_1 \) 和 \( r_2 \)，那么微分方程的通解是这两个根对应的一次指数函数的线性组合：
\[ y = C_1e^{r_1x} + C_2e^{r_2x} \]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是积分常数。
2. **特征根为一对相等的实根**：
如果特征方程有一个重根 \( r \)，通解包含 \( r \) 的一次幂和二次幂：
\[ y = C_1e^{rx} + C_2xe^{rx} \]
3. **特征根为一对共轭复根**：
如果特征方程的根为 \( r = a \pm bi \)，其中 \( b \neq 0 \)，通解将包含实部和虚部的指数函数，即正弦和余弦：
\[ y = C_1e^{ax}\cos(bx) + C_2e^{ax}\sin(bx) \]
通过这种方法，我们可以解决各种形式的二阶常系数齐次线性微分方程。例如：
- 方程 \( y'' - 2y' - 3y = 0 \) 的特征方程是 \( r^2 - 2r - 3 = 0 \)，其根为 \( r_1 = -1 \) 和 \( r_2 = 3 \)，所以通解是 \( y = C_1e^{-x} + C_2e^{3x} \)。
- 方程 \( y'' - 4y' + 4y = 0 \) 的特征方程是 \( r^2 - 4r + 4 = 0 \)，其根为 \( r = 2 \) (重根)，所以通解是 \( y = (C_1 + C_2x)e^{2x} \)。
解决此类问题时，我们需要根据特征方程的根来构造相应的特解，并结合初值条件来确定积分常数。特征方程法是一种有效且系统化的解题方法，它使得复杂微分方程的求解变得相对直观和简洁。
VIP享7折，此内容立减5.97元 
