同济大学高等数学上课件D73曲面方程PPT学习教案.pptx

【曲面方程的概念】 曲面方程是描述三维空间中曲面的一种数学表达方式，它将曲面上的每一个点的坐标（x, y, z）与一个数值相等，即 F(x, y, z) = 0。如果曲面S上的所有点都满足这个方程，那么F(x, y, z) = 0就是曲面S的方程。反之，不在曲面上的点其坐标不会满足这个方程。曲面方程的研究通常涉及两个基本问题：一是已知曲面的几何轨迹时，如何找到曲面方程；二是已知方程，如何分析它所表示的几何形状。 【实例解析】 1. 动点到定点的距离问题：假设动点M的坐标为(x, y, z)，定点A的坐标为(1, 2, 3)，B的坐标为(2, -1, 4)，则动点M到A、B等距离的条件可以表示为MA = MB。通过计算，可以得到曲面方程，这种情况下，曲面是一个垂直于线段AB的平面。 2. 球面方程：当动点M0位于原点时，距离为R的轨迹表示上（下）球面，球面方程为x² + y² + z² = R²。 3. 三元二次方程的几何意义：如方程x² + y² - z² = 1，通过配方可以得知，这代表一个双曲抛物面。对于一般形式的三元二次方程，可以通过类似的方法分析其表示的几何形状，可能是一个实心的球面、一个空心球面、一个平面或者虚轨迹。 【旋转曲面】 旋转曲面是由平面曲线绕固定直线旋转一周形成的曲面。例如，yoz面上的曲线C绕z轴旋转，如果曲线C的参数方程为x=f(t), y=g(t)，那么旋转曲面的方程可以通过将x和y用f(t)和g(t)表示，然后消去t得到。当曲线C绕y轴旋转时，方程会有所不同。 【柱面】 柱面是一种特殊的曲面，它由一个平面曲线沿某一方向无限延伸并旋转而成。比如，xoy平面上的圆x² + y² = R²绕x轴旋转形成圆柱面，其方程为x² + y² = R²，而绕z轴旋转则形成另一个圆柱面，方程为x² + z² = R²。同样，坐标面上的双曲线绕不同轴旋转也会生成特定的旋转曲面，如绕x轴形成双曲柱面，绕z轴也是。 这些基本概念和实例揭示了曲面方程在描述空间几何形状中的重要作用，同时也为我们提供了解决实际问题（如物理、工程中的各种形状分析）的数学工具。