北京理工大学数学分析导数与微分求导法则与求导基本公式本科PPT学习教案.pptx

《数学分析中的导数与微分》 导数与微分是数学分析中的核心概念，它们在高等数学中起着至关重要的作用。本教程主要针对北京理工大学本科学生的数学分析课程，详细介绍了求导法则和基本求导公式。 一、四则运算求导定理 在数学分析中，四则运算求导定理是基础中的基础，它表明常数和基本初等函数（如幂函数、指数函数、对数函数等）的加、减、乘、除运算保持导数的性质。具体来说： 1. 如果两个可导函数u(x)和v(x)分别关于x可导，那么它们的和u(x) + v(x)和差u(x) - v(x)的导数分别为u'(x) + v'(x)和u'(x) - v'(x)。 2. 同理，它们的乘积u(x)v(x)的导数为u'(x)v(x) + u(x)v'(x)，而商的导数为u'(x)v^2(x) - u(x)v(x)v'(x) / (v(x))^2，其中v(x) ≠ 0。 二、反函数求导 反函数求导定理指出，如果函数y = f(x)在某区间内单调且可导，其反函数x = g(y)同样存在并且可导，那么反函数的导数g'(y)等于原函数f(x)的导数f'(x)的倒数，即g'(y) = 1 / f'(x)。这在处理某些特定类型的函数时非常有用，尤其是需要求解逆函数的导数时。 三、复合函数求导 复合函数求导，也称为链式法则，是求导过程中的一大利器。若u是x的函数，v是u的函数，那么复合函数y = v(u(x))关于x的导数可以表示为y' = v'(u(x)) * u'(x)。这意味着我们需要分别对内部函数u(x)和外部函数v(u)求导，然后将结果相乘。这个规则使得我们能够处理复杂的函数组合。 四、高阶导数 高阶导数是函数的导数的导数，它可以用来描述函数的变化率的变化率，例如在物理学中用于描述物体加速度的变化。对于一个函数f(x)，它的n阶导数f^(n)(x)定义了函数f的n次连续可导性。高阶导数可以帮助我们了解函数的性质，比如极值点、拐点和曲线的凹凸性。 总结： 本教程涵盖了导数和微分的基本理论与应用，包括四则运算求导、反函数求导和复合函数求导，这些都是解决数学分析问题的关键工具。同时，高阶导数的概念进一步加深了我们对函数动态特性的理解。通过掌握这些内容，学生将能够解决各种初等函数的求导问题，并为后续深入学习数学分析奠定坚实的基础。