【导数的应用】在高三数学复习中，导数是一个核心概念，它在判断函数的单调性、求解函数的极值以及确定最值等问题中扮演着至关重要的角色。以下是关于导数应用的一些关键知识点：
1. **函数的单调性**：
- 函数的单调性可以通过导数来确定。如果函数y=f(x)在某个区间内可导，且f'(x)>0，那么f(x)在该区间内是增函数；反之，如果f'(x)<0，f(x)则是减函数。
- 求可导函数单调区间的步骤包括：确定定义区间，解方程f'(x)=0找出实根，排列这些根和间断点，然后根据f'(x)的符号判断函数的增减性。
2. **可导函数的极值**：
- 极值是指函数在其附近点的值超过或低于其他点的值。极大值是函数值最大，极小值是最小。
- 求可导函数极值的步骤包括：求导，解方程f'(x)=0得到可能的极值点，然后在这些点的左右两侧检验导数的符号变化，从而确定极值类型。
3. **函数的最大值和最小值**：
- 在闭区间[a, b]上，求函数的最大值和最小值首先找到所有极值，然后将这些极值与端点值f(a)和f(b)比较，最大者为最大值，最小者为最小值。
- 如果函数在区间上单调，那么端点值就是最值，单调增则f(a)是最小值，f(b)是最大值。
4. **例题解析**：
- 例题1展示了如何根据导数判断函数在特定区间上的单调性，以求解参数的取值范围。
- 例题2探讨了如何确定使得函数有三个单调区间的a的取值，并求出具体单调区间。
- 例题4是一个实际应用问题，通过建立数学模型，利用导数求解容器容积最大时的高。
- 例题5涉及更复杂的函数，证明了利用导数可以证明不等式恒成立。
5. **小结**：
- 判断函数单调性时，直接利用导数的正负通常比用单调性定义更为简便。
- 导数在求解极值和最值问题中起到决定性作用，通过解导数等于零的方程，结合导数的符号变化，可以确定函数的局部性质。
理解并熟练运用这些知识点，对于高三学生来说，不仅有助于应对高考中的导数应用题，也能为未来更深入的数学学习打下坚实基础。在实际解题过程中，需要注意函数的定义域，间断点，以及导数的正负变化，这些都是解决问题的关键线索。同时，掌握好这些理论知识后，还需要通过大量练习来提高解题技巧和速度。
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