微分方程模型清华大学数学建模教程PPT学习教案.pptx

微分方程模型是数学建模中的重要工具，尤其在处理动态系统时，如生物学、经济学、工程学等领域。清华大学的数学建模教程PPT详细介绍了如何利用微分方程来理解和预测系统的演变过程。本教程的核心是通过具体实例，如传染病模型，来教授微分方程建模的方法。 微分方程模型用于描述对象特征随时间或空间的变化规律，例如传染病的传播。在传染病模型中，我们关注的是受感染人数（i(t)）如何随时间变化。模型1简单地考虑了每个病人每天的有效接触人数（λ），但没有区分已感染者和未感染者。模型2引入了这种区分，并假设总人口数量不变，区分了病人和健康人，建立了SI模型，其中S表示易感人群，I表示感染者。 模型2进一步假设每个病人每天有效接触人数为λ，使得健康人感染。通过对微分方程的分析，我们可以预测传染病高潮的到来时刻（tm）。当λ增加时，tm会减少，意味着传染病可能会更快爆发。模型3考虑了病人可以治愈的情况，引入了治愈率μ，形成了SIS模型，即易感者可以再次感染。模型4则假设病人治愈后具有免疫力，不再回到易感人群，形成了SIR模型，其中R代表移出者或康复者。 SIR模型是微分方程模型中比较复杂的一种，它包括两个方程，分别描述易感者（S）、感染者（I）和移出者（R）的数量变化。由于系统的非线性，通常难以得到解析解，但可以通过相平面分析来理解解的性质。在相平面上，我们可以画出相轨线，这些线描绘了系统的动态行为。比如，当初始易感者比例s0大于阈值1/λ时，感染人数i(t)会先上升然后下降；当s0小于阈值时，i(t)会单调下降至0。 通过这些模型，我们可以分析传染病的传播速度、高峰期以及预防措施的效果，从而制定有效的防控策略。微分方程建模不仅提供了理论框架，还能够帮助我们在实际问题中找到合理的预测和解决方案。在数学建模中，理解这些基本模型及其背后的微分方程是至关重要的，因为它们能帮助我们理解现实世界中各种动态系统的行为。