双曲线是解析几何中的一个重要概念，它在高中数学的学习中占据着核心地位，尤其是在高考复习阶段。双曲线的性质和方程式是高考数学中的常见考点。以下是对标题和描述中涉及知识点的详细解释：
1. **双曲线的标准方程**：
双曲线的标准方程有两种形式：对于焦点在x轴上的双曲线，方程可以写为`x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1`；焦点在y轴上的双曲线，方程为`y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1`。其中，a是实轴半径，b是虚轴半径，c是焦距的一半，满足`c^2 = a^2 + b^2`。
2. **渐近线**：
双曲线的渐近线是靠近但永不相交的直线，其方程可以通过双曲线方程推导得出，通常是`y = ±bx/a`或`x = ±ay/b`。在给定题目中，有渐近线`y = x`的情况，这意味着`b = a`。
3. **焦点坐标**：
焦点坐标可以通过双曲线方程计算得出，对于x轴上的双曲线，焦点坐标是`(±c, 0)`，对于y轴上的双曲线，焦点坐标是`(0, ±c)`。c的值由`c^2 = a^2 + b^2`决定。
4. **焦距与面积**：
焦距是焦点间的距离，可以用来计算三角形面积，例如在问题3中，利用三角形面积公式`S = 1/2 * |base| * height`来求解双曲线的参数。
5. **双曲线的性质**：
包括实轴、虚轴的长度，焦距，顶点，渐近线，离心率等。离心率`e`定义为`e = c/a`，反映了双曲线的形状和扩张程度。
6. **双曲线的对称性**：
双曲线具有轴对称性和中心对称性，关于实轴、虚轴和原点都对称。
7. **双曲线与椭圆的关系**：
椭圆和双曲线可以共享焦点，这在问题7中体现，同时，它们的离心率与几何性质有关，离心率越接近1，形状越接近圆；离心率越大，形状越扁平。
8. **双曲线的解题技巧**：
在解决双曲线问题时，通常需要将给定的条件转化为标准方程或渐近线的形式，然后利用双曲线的几何性质进行计算。
9. **双曲线的应用**：
双曲线不仅在纯数学中有应用，还在物理学、工程学以及天文学等领域有实际意义，例如光学中的折射和反射问题，宇宙学中的哈勃定律等。
通过以上分析，我们可以看出，双曲线是高考数学复习的重要部分，掌握其基本概念、性质和解题方法对备考至关重要。学生需要熟练运用这些知识来解决各种类型的问题，包括选择题、填空题和解答题。
