### 背包问题概述
背包问题是一种经典的组合优化问题，在计算机科学与运筹学领域有着广泛的应用。根据题目给出的信息，“背包问题，存在最大价值”主要探讨的是如何在有限的背包容量下，选择一系列物品使得背包内的物品总价值最大化。
### 问题描述
在本例中，给出了一个具体的0-1背包问题实例。所谓0-1背包问题，是指对于每种物品只有取或不取两种选择（不能取部分）。给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价值，还有一个背包的承重限制。目标是确定每种物品的数量，使放入背包中的物品总价值最大，并且不超过背包的承重限制。
### 代码分析
#### 定义物品数组
```cpp
int good[GOODNUM][2] = {{4,6},{5,2},{6,3},{7,7},{8,5}};
```
这里定义了一个二维数组`good`，用于存储每种物品的重量和价值。例如，`good[0][0]`表示第一种物品的重量为4，`good[0][1]`表示其价值为6。
#### 输入背包容量
```cpp
cout << "please input the bag's size" << endl;
cin >> size;
```
通过用户输入的方式获取背包的最大容量。
#### 初始化动态规划表
```cpp
int v[GOODNUM + 1][1000];
// 初始化
for (i = 0; i <= GOODNUM; i++)
v[i][0] = 0;
for (i = 0; i <= size; i++)
v[0][i] = 0;
```
这里使用了一个二维数组`v`来记录动态规划过程中的中间结果。`v[i][j]`表示在前`i`种物品中选取，且背包剩余容量为`j`时所能获得的最大价值。
#### 动态规划状态转移方程
```cpp
for (i = 1; i <= GOODNUM; i++)
for (j = 1; j <= size; j++) {
v[i][j] = v[i - 1][j];
if (good[i - 1][0] <= j) {
if ((v[i - 1][j - good[i - 1][0]] + good[i - 1][1]) > v[i][j])
v[i][j] = v[i - 1][j - good[i - 1][0]] + good[i - 1][1];
}
}
```
这是0-1背包问题的核心部分，通过两层循环遍历所有物品以及所有可能的背包容量。状态转移方程为：
\[v[i][j] = \max(v[i-1][j], v[i-1][j-w_i]+p_i)\]
其中，`w_i`表示第`i`个物品的重量，`p_i`表示第`i`个物品的价值。如果当前物品的重量不超过剩余容量，则比较包含该物品和不包含该物品时所能获得的最大价值，取较大者。
#### 输出结果
```cpp
cout << v[GOODNUM][size] << endl;
```
最终输出的是在给定的背包容量下，所有物品中能获得的最大价值。
### 总结
通过上述分析可知，0-1背包问题的解决方法主要是通过动态规划实现。动态规划的关键在于状态的定义、初始化以及状态转移方程的设计。通过这种方法，我们可以有效地求解出在给定背包容量下的最大价值，进而解决实际生活中的类似问题。
