斐波那契数列及其性质
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2017-04-28
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有关 Fibonacci 数列及性质的研究
摘要：本文由 Fibonacci 数 列 的 模 型展开讨论，推导出数列的通项公式；进而
利用数列的递推公式、数学归纳等多种方 法，探讨了数列各项之间的联系，归纳总结
了数列所具有的 14 条基本性质，在其基础上，又给出了 Fibonacci 数列与黄金分割数之间
的密切联系，得到了三条重要性质，这些性质无一不体现了数列的变化规律。最后，作为性
质的应用，结合例题我们阐述了数列在中学数学教育和社会其他领域的一些应用。
关键词：Fibonacci 数列;通项公式;性质;黄金分割
在 现 实 生 活 中 ， 我 们 经 常 会 遇 到 类 似 “ 数 列 ” 变 化 的 一 系 列 经 济 问 题 ，
Fibonacci 数列出现在我们生活中的方方面面，一些问题不仅可以用 Fibonacci
数列表示，而且本质上就是 Fibonacci 数列，可见 Fibonacci 数列在很多数学分
支都有很广泛的应用，因此研究 Fibonacci 数列非常必要。
本文通过探讨 Fibonacci 数列的性质，进一步掌握数列的数字排列、增减变
化、波动趋势等数项之间的变化规律，继而给出一系列与 Fibonacci 数列相关问
题的解决方案，特别是对中学数学教育中，如何让学生巧妙解题具有启发作用。
1. Fibonacci 数列的由来
斐波那契，公元 13 世纪意大利数学家，在他的著作《算盘书》中记载着这
样一个“兔子繁殖问题”：假定有一对大兔子，每一个月可生下一对小兔子，并且
生下的这一对小兔子两个月后就具有繁殖能力。假如一年内没有发生死亡，那么 ，
从一对小兔子开始，一年后共有多少对兔子？
问题的解答思路：将每个月的兔子总对数列出来即可（需考虑到每个月具有
生殖能力的兔子的对数），如下：
月 份
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1
0
1
1
12 13
小兔子数（对）
1 0 1 1 2 3 5 8
1
3
2
1
3
4
55 89
大兔子数（对）
0 1 1 2 3 5 8
1
3
2
1
3
4
5
5
89
14
4
兔子总数（对）
1 1 2 3 5 8
1
3
2
1
3
4
5
5
8
9
14
4
23
3
所以一年后（即第 13 个月初），繁殖的兔子共有 233 对。
仔 细 观 察 ， 可 以 看 出 上 面 列 出 的兔子对数呈现出一个有趣的变化规
律：即从第 3 个月起，每个月的兔 子对数都是前两个月的兔子对数之和，
把 这 些 数 字 按 照 相 同 的 规 律 推 算 到 无 穷 多 项 ， 就 构 成 了 一 列 数 列 ：
1、1、2、3、5、8、13、21、34、55……，人们就把它称为 Fibonacci 数列，
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