POJ2240Arbitrage

Arbitrage is the use of discrepancies in currency exchange rates to transform one unit of a currency into more than one unit of the same currency. For example, suppose that 1 US Dollar buys 0.5 British pound, 1 British pound buys 10.0 French francs, and 1 French franc buys 0.21 US dollar. Then, by converting currencies, a clever trader can start with 1 US dollar and buy 0.5 * 10.0 * 0.21 = 1.05 US dollars, making a profit of 5 percent. ### POJ2240 Arbitrage #### 问题描述 在金融领域中，“套利”（Arbitrage）是指利用不同市场之间的价格差异来进行交易，从而实现无风险利润的行为。例如，如果一个商品在一个市场上以较低的价格买入，在另一个市场上以较高的价格卖出，则可以从中获利。在货币市场中，这种行为更为常见，即通过汇率差异来实现利润。 题目描述了一个具体的例子：假设1美元可以兑换0.5英镑，1英镑可以兑换10法郎，而1法郎又可以兑换0.21美元。那么通过连续兑换，可以从1美元开始最终获得0.5 * 10.0 * 0.21 = 1.05美元，实现了5%的利润。本题的任务是编写一个程序，接收一系列货币兑换率作为输入，并判断是否存在套利的机会。 #### 输入格式 输入包含一个或多个测试用例。每个测试用例的第一行包含一个整数n (1 <= n <= 30)，表示不同的货币种类数量。接下来n行每行包含一种货币的名称。然后是一行整数m，表示接下来将给出m条兑换记录。接下来的m行每行包含一条兑换记录，包括源货币名称、兑换比率以及目标货币名称。未出现在表格中的兑换被视为不可能进行。测试用例之间由一个空行分隔。当n为0时，输入结束。 #### 输出格式 对于每个测试用例，输出一行表示是否存在套利机会，格式为 "Case case: Yes" 或 "Case case: No"。 #### 示例输入与输出 **示例输入** ``` 3 USDollar BritishPound FrenchFranc 3 USDollar 0.5 BritishPound BritishPound 10.0 FrenchFranc FrenchFranc 0.21 USDollar 3 USDollar BritishPound FrenchFranc 6 USDollar 0.5 BritishPound USDollar 4.9 FrenchFranc BritishPound 10.0 FrenchFranc BritishPound 1.99 USDollar FrenchFranc 0.09 BritishPound FrenchFranc 0.19 USDollar 0 ``` **示例输出** ``` Case 1: Yes Case 2: No ``` #### 解题思路 该问题可以通过构建图模型来解决，其中每个节点代表一种货币，边表示货币之间的兑换关系，权重为兑换比率。若存在套利机会，则意味着存在一个环，经过这个环后，货币的数量会增加。这是一个典型的负权回路检测问题，可以采用贝尔曼-福特算法来求解。 **贝尔曼-福特算法简介** 贝尔曼-福特算法是一种用于求解带负权边的最短路径问题的算法。其核心思想是从某个起点出发，逐步更新所有节点的距离估计值，直到找到所有节点到起点的最短路径。该算法的特点是可以检测出图中是否存在负权回路，如果存在，则表示存在套利的机会。 #### 实现代码框架 根据题目描述，下面提供了一个基本的Java程序框架，用于解决这个问题： ```java import java.util.Scanner; public class poj2240 { static int c = 0; static String[] str; static double[][] map; static double[] v; static int n, m; static boolean[] visited; public static void main(String[] args) { Scanner cin = new Scanner(System.in); while (true) { c++; n = cin.nextInt(); if (n == 0) return; str = new String[n]; map = new double[n][n]; v = new double[n]; // 读取货币名称 for (int i = 0; i < n; i++) { str[i] = cin.next(); } // 读取兑换记录 m = cin.nextInt(); for (int i = 0; i < m; i++) { String fromCurrency = cin.next(); double rate = cin.nextDouble(); String toCurrency = cin.next(); // 将货币名称映射到数组索引 int fromIndex = -1, toIndex = -1; for (int j = 0; j < n; j++) { if (str[j].equals(fromCurrency)) fromIndex = j; if (str[j].equals(toCurrency)) toIndex = j; } // 更新兑换矩阵 map[fromIndex][toIndex] = rate; } // 调用贝尔曼-福特算法检测负权回路 if (bellmanFord()) { System.out.println("Case " + c + ": Yes"); } else { System.out.println("Case " + c + ": No"); } } } // 贝尔曼-福特算法实现 private static boolean bellmanFord() { // 初始化 Arrays.fill(v, Double.MAX_VALUE); v[0] = 1.0; // 以第一种货币作为起始货币 // 进行n-1次迭代 for (int i = 0; i < n - 1; i++) { for (int j = 0; j < n; j++) { for (int k = 0; k < n; k++) { if (map[j][k] > 0 && v[j] + Math.log(map[j][k]) < v[k]) { v[k] = v[j] + Math.log(map[j][k]); } } } } // 检测是否存在负权回路 for (int j = 0; j < n; j++) { for (int k = 0; k < n; k++) { if (map[j][k] > 0 && v[j] + Math.log(map[j][k]) < v[k]) { return true; // 存在负权回路 } } } return false; // 不存在负权回路 } } ``` 以上就是针对POJ2240“Arbitrage”的详细分析与解答，希望对理解此问题有所帮助。