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全国研究生数学建模竞赛-线性流量阀的内筒孔设计定稿2.pdf
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全国研究生数学建模竞赛-线性流量阀的内筒孔设计定稿2
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第
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届
届
研
研
究
究
生
生
数
数
学
学
建
建
模
模
竞
竞
赛
赛
题 目 线性流量阀的内筒孔设计
摘 要:
本文讨论了维修线性流量阀时的内筒设计问题。首先我们建立了一个理论模
型,设存在某曲线 f(x)满足过流面积与内筒旋转角度成严格线性关系,计算得此
曲线不存在。然后建立了一个简单的模型,假设内筒孔为正方形,并考察了其过
流面积与内筒旋转角度的关系。我们发现其过流面积虽不与内筒旋转角度成严格
线性关系,但较接近线性。在此基础上,考虑到尽量减少摩擦,我们从圆锥曲线
角度来改进模型。通过适当地变动圆锥曲线参数,寻找使得过流面积与内筒旋转
角度的渐近线性效果最好的曲线,结果显示椭圆方案最好。通过对椭圆参数取不
同值得到过流面积与旋转角度的数据,然后进行线性回归。以残差平方和均值最
小为目标函数,在一个合理的范围内得到:大小按外筒孔为单位圆的比例,内筒
孔右半部分是 a=4,b=1.2 的椭圆弧,左半部分是单位圆弧的光滑曲线,作为最好
渐近线性的内筒孔设计方案。
对于问题二,为了满足主要工作区占“最大范围”区间长度的 75%以上,
其间最大过流面积达到外筒孔的面积 85%以上的条件,在问题一的基础上对模
型进行改进,设计内筒孔曲线为:右半部分 a=4,b=1.3 的椭圆弧,左半部分是单
位圆弧的光滑曲线。在考虑到外筒孔存在较小磨损时,我们要求过流面积尽量由
内筒孔来控制,即内筒孔在满足上述条件下面积尽量小。采取同样的方法求得了
最佳内筒孔曲线设计方案:右半部分 a=3,b=1.1 的椭圆弧,左半部分是单位圆弧
的光滑曲线。
关键词 过流面积 渐进线性 线性拟合 残差平方和
参赛队号 10635002
参赛密码
(由组委会填写)
一.问题重述
油田采油钻井,需要通过固井机喷出砂浆形成水泥井管。为了保证水泥井管
质量,必须合理的控制砂浆的流量。固井机上用来控制砂浆流量的阀是影响水泥
管质量的关键部件。由于内孔损耗严重,维修时只能根据固井机工作原理来加工
内筒的曲线形状,使得流量阀要尽量使得砂浆流量与阀体旋转角度成线性。若不
能成严格的线性,都应该要让实际情况与线性关系的误差最小。为了使喷射砂浆
的效果更好,设计出来内筒孔的形状,在保持渐近线性的同时,应该能使主要工
作区间所对应的旋转角度的线性区间至少达“最大范围”的 75%,其间最大过
流面积至少达外筒孔的 85%以上。
二.假设说明
1. 外筒孔近似看作圆孔,并假定这个圆的半径为单位长度;
2. 假定内外筒旋转速度均匀。把圆筒展开成平面,筒转动转化为长方形平动;
3. 从实际加工的角度考虑,我们设计出的内筒孔曲线形状都定为不太复杂的
光滑曲线;
4. 假设外筒的直径是它上面圆孔的直径的四倍;即外孔筒的直径等于 8;
5. 内筒孔的最大宽度不超过内筒横切面圆周长的 25%;
6. 内筒孔的旋转角度与其展成平面后的平动距离本质一样;
三.符号说明
S
:过流面积;
t : 内筒曲线平动的距离;
a
:椭圆的长轴长度;
b
:椭圆的短轴长度;
1
四.问题一
4.1 模型分析和建立
要使得过流面积与内筒旋转角度成线性关系,必须设计出合适的内筒孔曲线
形状。考虑到实际加工的情况,我们先从简单的对称曲线入手。
为了简化模型我们把两个圆柱筒展成平面,即为长方形,筒转动转化为两个
长方形的平动。把外筒假定为圆心在原点的单位圆。由于内外筒轴向没有相对运
动,可以把外筒平面固定,只让内筒曲线平动。因为我们只研究过流面积,考虑
内筒曲线从刚进入外筒单位圆(此时过流面积为零),平动到过流面积最大为止
(此时过流面积为单位圆面积)。我们可以把模型简化为只考虑内筒孔半边曲线
边界切割外筒单位圆的情形。
(1)严格线性的分析
要设计内筒形状来实现过流面积与其旋转角度成严格的线性关系,我们先作
如下分析。假设内筒孔形状是一个光滑的轴对称曲线,其方程为
()
f
x
,且
()
f
x
能实现过流面积与内筒的旋转角度成严格的线性关系。由于我们考虑的曲线和圆
都是对称的,鉴于讨论方便,下面我们都只考虑曲线所得过流面积在
X
轴上方
那部分的面积,讨论其是否与平动距离t 成线性关系。
见下图:
图 4.1
图中的单位圆表示外筒孔,曲线表示内筒孔的形状,阴影部分表示过流面积 的
一部分。设内筒的旋转速度为 ,则由假设知
S
t
Skt
=
又由上图知 是由两部分的积分之和。有
S
2
0
0
1
2
1
1(
x
t
x
Sxdxfx
−
−
=− +
∫∫
)dx
又有
0
0
1
2
1
1()
x
t
x
x
dx f x dx kt
−
−
−
+=
∫∫
对所有的 都成立。其中
2t ≤
0
x
表示
(
)
f
x
与圆的交点的横坐标。
若分别取
113
,,,1,
424
t =
则可以得到下面的方程组:
1
1
3
4
2
1
1
1()
4
x
x
x
dx f x dx k
−
−
−+ =
∫∫
2
2
1
2
2
1
1
1()
2
x
x
x
dx f x dx k
−
−
−+ =
∫∫
3
3
1
4
2
1
3
1()
4
x
x
x
dx f x dx k
−
−
−+ =
∫∫
4
4
0
2
1
1()
x
x
x
dx f x dx k
−
−
+=
∫∫
求解可知上述的
k
不存在,也就是说过流面积与内筒的旋转角度不能成严格的线
性关系。
(2)近似线性的设计
据上述讨论,我们知道过流面积与内筒旋转角度不能成严格线性关系,那么
我们下面的问题就是设计出合理的内筒孔形状,使得过流面积与内筒旋转角度近
似成线性关系,使其与严格线性关系的误差最小,从而优化维修内筒线性流量阀
问题。
模型 1: 我们首先考虑内筒形状为边长为 2 的正方形的情形
单位圆方程:
22
1xy
+
=
3
直线 AB 方程:
1x
=
−
(正方形右边在直线 AB 上)
图 4.2
直线 AB 向右平动 个单位后,方程变为:t
1
x
t
=
−+
,
通过积分可得阴影部分面积为:
() () ()
1
2
2
1
1
1 1 1 1 arcsin 1
24
t
Sxdxtt t
π
−
−
⎡⎤
=−=−−−+ −+
⎢⎥
⎣⎦
∫
通过 Matlab 求解,得到正方形对应的过流面积关于平动距离 的函数图像, t
见下图
图 4.3 过流面积 s 与平动距离 t 的模拟图
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
自变量t
面积s
注:曲线为实际函数图像
从图中可知函数与直线比较近似。
4
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