【动态规划】是一种解决多阶段决策过程最优化问题的有效方法，尤其在数学建模中有着广泛的应用。动态规划的核心在于将复杂的问题分解为一系列相互关联的子问题，并通过逐个解决这些子问题来找到全局最优解。
在多阶段决策过程中，每个阶段都需要做出决策，并且前一阶段的决策会影响到后续阶段的决策，形成了一个决策序列，即策略。最优策略是指在所有可能的策略中，能够带来最佳效果的那个。衡量效果通常用量化指标，例如最小化成本、最大化收益等。动态规划的目标是确保整个决策过程的整体效果最优，而不仅仅是单个阶段的最佳。
动态规划的特点包括以下几个关键要素：
1. **阶段**：将问题划分为多个连续的阶段，每个阶段都有相应的决策点。
2. **状态**：每个阶段的特定条件或结果，反映了当前阶段的特征。
3. **决策**：在每个阶段上需要做出的选择，这些决策影响到下一阶段的状态。
4. **状态转移方程**：描述了从一个阶段到另一个阶段状态变化的规则，通常与决策有关。
5. **k-后部子过程**：考虑当前阶段之后的子过程，以确保全局最优解。
举例来说，动态规划常用于解决最短路径问题，如图1所示的运输网络。传统的穷举法会尝试所有可能的路径组合，计算每条路径的长度，然后选择最短的一条。但这种方法在节点数量较大时效率极低。
动态规划通过建立状态方程和边界条件，自底向上或自顶向下地计算每个阶段的最优决策，避免了重复计算，显著提高了效率。在上述最短路径问题中，动态规划可能会定义一个矩阵，存储从一个节点到另一个节点的最短路径，逐步更新这个矩阵，直到找到起点到终点的最短路径。
动态规划在实际应用中非常广泛，包括资源分配、库存管理、生产计划、网络优化、生物信息学等领域都有其身影。理解并掌握动态规划的基本概念和原理，对于解决复杂优化问题具有重要的价值。
