数学建模-图论cumcm例 课件.ppt

【数学建模与图论应用】数学建模中图论的应用常常涉及到解决复杂网络问题，例如公共交通线路规划。2007年B题是关于如何通过图论建立数学模型来解决城市公交系统中的最佳路线选择问题。在这个问题中，我们需要考虑以下几个关键知识点： 1. **图的构建**：问题中的站点可以被视为图的顶点，而公汽线路则可视为连接这些顶点的边。由于站点数量庞大（超过8000个），最初的模型可能会采用邻接矩阵来表示，但这会导致计算量过大。另一种思路是将线路作为顶点，此时矩阵的阶数显著减少，大约为900多阶。 2. **优化目标**：模型需要考虑多种优化因素，包括换乘次数、乘车时间和费用等。例如，对于换乘次数最少的问题，可以构建一个线路为顶点的有向图，边上的权重设为1，然后寻找最短路径。对于时间最短的问题，边的权重应为对应线路的乘车时间，并需要处理因线路部分路段重叠导致的多条边（重边）。 3. **实际约束**：线路的上下行方向性以及换乘的可行性也是关键考虑因素。例如，若两站点之间的换乘不满足线路的先后顺序，则不应被视为有效的换乘路径。即使这样不会影响最短路径的计算，但在实际建模时必须予以考虑。 4. **地铁线路的整合**：当问题扩展到包括地铁线路时，需要处理地铁站点与公交站点之间的转换。这可以通过将地铁站点视为额外的顶点，并添加相应的边和权重（行走时间）来实现。 5. **代价函数**：对于不同的最优标准（如时间、费用或换乘次数），可以定义一个代价函数，其中包含各个因素的权重。例如，时间最短的模型中，代价函数可能为各段乘车时间的总和加上换乘时间。 6. **最短路径算法**：为了解决图中的最短路径问题，可以使用Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法或者Bellman-Ford算法，具体选择哪种取决于图的性质和问题的具体需求。 7. **算法效率**：由于图的规模很大，所以算法的时间复杂性和空间复杂性至关重要。在构建模型和设计算法时，需要考虑到实际计算资源的限制，寻找高效的方法。 8. **模型验证与优化**：模型建立后，需要通过实际数据进行验证，如题目中提到的6对起始站和终到站的最佳路线，以确保模型的准确性和实用性。 通过深入理解这些问题并结合图论的知识，我们可以构建出适用于公共交通网络的数学模型，从而提供最优的路线建议。这种方法不仅适用于比赛，也在城市交通规划、物流配送等领域有着广泛的应用。