数学建模-常微分方程模型.ppt

【数学建模与常微分方程模型】 数学建模是一种用数学语言描述现实世界现象的方法，常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）在数学建模中扮演着重要的角色，尤其在处理连续变化的过程时。本模型以商品价格波动为例，探讨如何运用常微分方程来模拟市场经济中的价格动态。 模型基于市场经济的基本原理，即商品价格由供需关系决定。在均衡状态，商品的供给量S(t)等于需求量D(t)，形成平衡价格p*。然而，实际价格p(t)会因市场波动而偏离这个平衡，呈现出阻尼振荡的特征，即价格会在高点和低点之间逐渐趋于平衡。 建模初始假设： 1. 需求量D(t)随价格p(t)增加而减少，假设两者呈线性关系：D(t) = -k1 * p(t) + d0。 2. 供给量S(t)随价格p(t)增加而增加，同样假设线性关系：S(t) = k2 * p(t) + s0。 3. 价格变化的速度p'(t)与市场过剩需求D(t) - S(t)正相关。 根据这些假设，可以建立一个一阶非线性常微分方程来描述价格p(t)随时间t的变化： dp(t)/dt = k3 * (D(t) - S(t)) = k3 * (-k1 * p(t) + d0 - k2 * p(t) - s0). 进一步分析，发现该模型会导致价格单调地趋向平衡，不符合实际中价格振荡的特征。因此，模型需要调整。 第一次修改： 考虑到过剩需求的时间滞后效应，将过剩需求改为对时间的积分，即D(t) - S(t) = ∫[D(t) - S(t)] dt。这引入了二阶常微分方程： d²p(t)/dt² = k4 * ∫[D(t) - S(t)] dt. 解此二阶方程，得到的价格p(t)可能呈现等幅振荡，但依然不符合实际的阻尼振荡现象。 再次修改假设： 引入政府宏观调控的影响，即价格变化不仅与当前的过剩需求有关，还与价格偏离平衡价格的程度p(t) - p*有关。假设这种关系仍为正比，添加新的项k5 * (p(t) - p*)到二阶方程中： d²p(t)/dt² = k4 * ∫[D(t) - S(t)] dt + k5 * (p(t) - p*) 这样建立的模型能更好地模拟价格随时间的阻尼振荡行为，反映出市场价格在政府调控下的动态调整过程。通过求解这个常微分方程组，我们可以分析价格如何随着时间逐渐收敛到供需平衡的理性价格p*，同时体现出市场自我调节和政府调控的综合效应。 总结来说，数学建模利用常微分方程对商品价格波动的模拟，揭示了市场经济中的供需关系、时间滞后效应以及政府宏观调控的作用。通过不断调整和优化模型假设，可以更准确地捕捉到实际市场中的复杂动态。