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【2001考研数三真题解析】 一、填空题 1. 当Q = 1时，根据生产函数Q = AL^αK^β，K关于L的弹性为K/L * dQ/dL = β/Q * (dQ/dK * K/L) = β/α，因为Q = 1，所以K关于L的弹性为β/α。 2. 工资总额每年以20%的速度增长并在基础上追加2百万，差分方程为W_t = W_{t-1} * (1 + 0.2) + 2，其中W_t 表示第t年的工资总额。 3. 矩阵A的秩为3，意味着A至少有3个线性无关的列向量，若|A| = k * I (I是单位矩阵)，那么k = ±1（因为秩为3的3阶方阵的行列式不为0）。 4. 切比雪夫不等式表明，对于两个随机变量X和Y，如果它们的相关系数ρ = 0.5，数学期望E(X) = E(Y) = 2，方差Var(X) = 1，Var(Y) = 4，则|X - Y| > 2的概率不超过1 - (1 - ρ^2)/(2 * sqrt(Var(X) * Var(Y))) = 1 - (1 - 0.5^2) / (2 * sqrt(1 * 4)) = 0.125。 5. 从正态总体X中抽取的简单随机样本，其样本均值的分布遵循N(μ, σ^2/n)分布，其中μ是总体均值，σ是总体标准差，n是样本大小。因此，随机变量的分布是N(μ, σ^2/n)，参数为μ和σ^2/n。 二、选择题 1. 因为f'(a)存在且不等于0，x = a 不是极值点，同时(f'(x))'在x=a处连续，(a, f(a))也不是拐点，所以答案是(D)。 2. 函数g(x) = x^2 - 1/x 在(0,2)内连续，因此排除(C)。由于g'(x) = 2x + 1/x^2 > 0 在(0,2)内恒成立，g(x)是递增的，排除(B)和(A)。答案是(D)。 3. 由于A可逆，A^(-1) * A = I，两边同时乘以A，得到A * A^(-1) * A = A * I，即A^(-1) * A = I，答案是(B)。 4. 若r(AX) < r(A)，则AX = α无唯一解，答案是(A)。 5. X和Y的相互独立意味着它们的相关系数为0，答案是(B)。 三、求偏微分问题 利用复合函数求偏导数，然后将y和z的表达式代入，解得u的偏导数。 四、求解常微分方程 根据题意，f'(c) = 0，通过积分可求得c的值。 五、二重积分计算 将D区域划分为四个部分，分别计算四个部分的积分，最后相加得到结果。 六、抛物线与直线相切条件 利用导数求切点坐标，然后求出S的最大值。 七、利用罗尔定理证明 由题意知f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，满足罗尔定理条件，故存在ξ使得f'(ξ) = 0。 八、级数求和 利用递推关系找到通项公式，然后求和。 九、线性方程组解的唯一性 首先求解线性齐次方程组AX = 0，然后结合AX = β的非齐次解，找出a的值以及正交矩阵Q。 十、实对称矩阵的性质 1. 二次型的矩阵即为A本身。 2. 因为秩(A) = n，所以A是正定的，因此其规范形与原二次型相同。 十一、中心极限定理应用 计算每箱平均重量的标准误差，然后用标准正态分布函数找出能保障不超载的概率，进而确定箱数。 十二、二维均匀分布的随机变量 计算随机变量U=X-Y的概率密度函数，需要对联合分布进行变换。 以上是对2001年考研数三真题的部分解析，涉及的知识点包括生产函数、微积分、线性代数、概率论与数理统计等多个方面。解答过程详尽展示了各科目的基本理论和解题技巧。