异或与对称差.pdf
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2023-03-29
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在离散数学里用
表示异或运算，用
表示两个集合的对称差运算。而在集合论里面
用
来表示对称差，在上学期学的数字逻辑里面
表示异或运算。这些一样的符号在不同科目
里面表示不一样的运算，一样的运算在不同科目里面用不同的符号表示，这将引起极大地混
乱。这个时候直觉应该告诉我们，对称差跟异或有一定的关系。它们能扯上关系吗？其实在
本质上它们是一样的。或者说在布尔代数里面的异或就是在集合运算的对称差。为了比较这
两种运算，下面用的讨论中，
用来表示对称差，
表示异或。
下面是两个运算性质的比较，这能很好的说明它们就是同一个东西，只是教科书永远都要让
我们认为它们是不同的东西。
1.
首先都看看这两个运算满足什么性质。
最重要的是交换律和结合律。即
a△b=b△a，(a△b)△c=a△(b△c),
a⊕b=b⊕a, (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c);
其次是它们都满足这个性质：
a△a=
，
a
⊕a=0;
2.
a△(a△b)=b,
a⊕(a⊕b)=b
3.
如果 a△b=c,那么 a△c=b,b△c=a;
如果 a⊕b=c,那么 a⊕c=b,b⊕c=a;
就是说：如果 a△b=c，那么 a,b,c 任何两个运算都等于剩下的那一个。
如果 a⊕b=c，那么 a,b,c 任何两个运算都等于剩下的那一个。
4.
作为性质 3 的推广：
如果
a
0
a
1
...a
2
...a
n1
那一个。
如果
a
0
a
n
，那么
a
0
, a
1
,...a
n
中任何 n-1 个运算结果都等于剩下的
a
1
... a
2
... a
n1
a
n
，那么
a
0
, a
1
,...a
n
中任何 n-1 个运算结果都
等于剩下的那一个。（事实上，这里
a
0
, a
1
,...a
n
不一定非零即一，可以推广到任何两个正整
数，异或就推广为按位异或）。
性质 4，其实在我们高中的时候就已经接触过类似的东西了。那就是三角形的垂心。任
何三个不共线的顶点均能连成一个三角形，这个三角形有一个垂心，垂心跟三个顶点组成四
个顶点，这四个顶点中任何三个顶点连成的三角形的垂心是剩下的那个点。说得有点绕。。。
意思就是这四个点中任意三个点均以第四个点为垂心。
性质 4 是很有用的一个运算，张金上课时就提过，数据的备份与恢复就是依据这个原理
进行的。下面是这个原理：如果有 n 个存满数据的服务器，如何对这些数据进行 backup 呢？
最简单的方法就是准备 n 个服务器，分别备份原来 n 个服务器的数据，但是这是很耗资源的
一种方式。有没有资源节约型的方式呢？哈哈，只需要一个服务器就ok 了，怎么弄呢？
把那 n 个服务器的数据按位异或结果按位放到这个服务器上，如果一旦其中任何一个服务器
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