设有一有向图为g(vdoc (2).pdf

在IT领域，图是一种重要的数据结构，用于表示对象之间的关系。本题主要涉及有向图、无向图、邻接矩阵、邻接表、强连通分量、最短路径算法（Dijkstra、Floyd）、最小生成树算法（Prim、Kruskal）、拓扑排序、完全二叉树和AOE网等概念。 1. 有向图G=(V，E)的定义：V是顶点集合，E是边集合。给定的有向图V={v0, v1, v2, v3}，E={<v1, v0>, <v2, v1>,<v3, v2>, <v3, v1>, <v0, v3>}，可以直观地画出这个图，其中箭头表示边的方向。 2. 无向图的邻接矩阵表示：这是一个二维数组，行和列对应图中的顶点，如果两个顶点之间有边，则对应位置的值为1，没有边则为0。用邻接矩阵可以快速判断任意两个顶点间是否有边，以及计算顶点的度（入度+出度）。 3. 带权有向图的邻接矩阵表示和邻接表表示：邻接矩阵中非对角线元素表示边的权重，邻接表则是每个顶点对应的边列表，可以节省空间。 4. 强连通分量：一个有向图是强连通的，如果图中任意两个顶点都互相可达。图7.26需要分析是否存在这样的路径。 5. 深度优先搜索（DFS）和广度优先搜索（BFS）：DFS从给定顶点出发，沿着边尽可能深地探索，而BFS则优先探索距离起点近的顶点。对于图7.27，从v0出发可以画出这两种生成树。 6. Prim和Kruskal算法：Prim算法从一个顶点开始逐步添加边，形成最小生成树，而Kruskal算法按边的权重从小到大选择，避免形成环路。两者用于构建无环加权图的最小生成树。 7. Dijkstra算法：求单源最短路径，按路径长度从小到大扩展，记录每次更新后的Dist数组和路径信息。 8. Floyd算法：计算所有顶点间的最短路径，通过动态规划更新最短路径矩阵Ai和最短路径中间节点nextvexi。 9. 拓扑排序：有向无环图的顶点排序，使得每条边指向的顶点都出现在其起点之后。图7.31可能存在多种合法的拓扑序列。 10. 无环有向图的关系矩阵：通过调整顶点顺序，可以使得对角线以下元素全为0，因为不存在环，所以从一个顶点无法到达它自己或更低位置的顶点。 11. 完全二叉树的邻接表和邻接矩阵：完全二叉树的邻接矩阵是对称的，邻接表反映了父子节点关系。 12. 深度优先遍历（DFS）和广度优先遍历（BFS）森林：从顶点V1开始，DFS和BFS会产生不同的树结构，因为DFS可能先访问子树的深处，而BFS则按层次遍历。 13. 无向图的邻接表构造：根据输入的顶点对创建邻接表，并从顶点4开始进行DFS和BFS遍历，记录顺序。 14. Dijkstra算法求最短路径：在有向网中，从源点1开始，逐步扩大红点集（已找到最短路径的顶点），直到所有顶点都包含在内。 15. 无前趋顶点优先的拓扑排序：找到没有入边的顶点开始，按顺序输出顶点。 16. AOE网的关键路径：关键活动是那些影响工程完成时间的活动，它们的最早开始时间和最晚开始时间相等。提高关键活动的速度可以提前工程的完成时间。 在实现这些算法时，选择不同的数据结构（如邻接矩阵、邻接表）会影响算法的效率，例如邻接表通常比邻接矩阵更适合处理稀疏图，而邻接矩阵在处理稠密图时更高效。在实际编程中，应根据具体问题选择合适的数据结构。