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"FAST"工作抛物面的优化设计
摘 要
本文基于 FAST 的工作原理,通过机理分析、坐标变换、非线性最小二乘优化等方
法,建立了反射面板调节优化模型,并利用 BFGS 算法、蒙特卡洛积分算法等算法,对
不同条件下反射光线吸收比率进行了研究。
问题一中,首先基于固定的仰角 、观测目标 、圆心 和焦点 ,利用旋转抛物
面的中心对称性,选取焦距作为自由度控制变量,构建在极坐标系下开口竖直向上的二
维抛物线方程,得到不同偏转角度下原点到抛物线的距离,进而导出三维下的旋转抛物
面方程。其次,以焦距为决策变量,将口径 300 米的抛物面作为积分域,将理想抛物面
到原点的距离与基准球面半径差值平方作为被积函数进行积分作为最小化目标函数,建
立了确定理想抛物面的优化模型。最后,使用二分法求得目标函数导函数在定义区间上
的零点,得到理想抛物面焦距的精确值为 280.854,误差平方积分的最小值为 10.112。
此时对应理想抛物面的解析式为 。
问题二中,首先利用球坐标下不同轴线方向抛物面的旋转不变性,在原坐标系和问
题一的坐标系之间建立了双向可逆的变换关系,得到了不同方位角下理想抛物面到原点
的距离。其次,以主索节点的工作坐标和促动器的伸缩长度为决策变量,以积分域覆盖
的主索节点到原点的距离与理想抛物面到原点的距离之差的平方和为最小化目标函数,
分别考虑下拉索长度固定、相邻节点的距离变化幅度不超过 0.07%、促动器的伸缩范围
在 0.6m 为约束条件,建立反射面板调节优化模型。最后,使用拉格朗日乘子法和 BFGS
算法进行求解,得到误差平方在抛物面口径上的积分的最小值为 ,理想抛
物线的顶点坐标为 ,调节后反射面 300 米口径内的主
索节点编号、位置坐标、各促动器的伸缩量等结果见文件 result.xlsx。
问题三中,首先通过旋转变换,将反射问题的倾斜入射光线转化为垂直入射光线。
其次,通过求解线性方程组,依次确定出入射光线与三角形面板的相交判定式、交点坐
标、三角形面板的法线向量,并利用光线垂直入射的性质,使用法线向量简化计算得到
出射光线的方向角。再次,通过联立射线方程与馈源舱所在的目标高度,得出射线方程
的步长和出射光到达目标高度时的坐标,并与馈源舱的有效区域进行比对,作为入射光
线是否被有效接收的判定式。最后,将 300 米口径内实际接收区域作为积分域,将入射
光线有效接收判别式作为被积函数,使用蒙特卡洛算法进行积分,得到有效接收的光源
面积,并计算出调节前接收比 0.811%,调节后接收比 1.103%,提升了 36%,调节工作
抛物面的过程使有效光源的光斑可以尽量完整地出现在每个三角形面板内(图 11)。
本文的特色在于将机理分析与非线性最小二乘优化相结合,并灵活采用二分法、
BFGS 算法和蒙特卡洛积分算法进行求解,在大规模、高维且带有非线性约束的求解中
仍然以接近二阶的速度收敛至最优解,为 FAST 在不同情况下的调节与设计提供了参考
依据。
关键词:坐标旋转、非线性最小二乘、BFGS 算法、蒙特卡洛积分