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协方差分析理论与案例.pdf
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协方差分析理论与案例
假设我们有 N 个个体的 K 个属性在 T 个不同时期的样本观测值,用
y
it
,
x
it
,
…,N,t=1
,
…,T,k=1
,
…,K 表示。一般假定
y
的观测值是某随机实验的
结果,该实验结果在属性向量
x
和参数向量
下的条件概率分布为
f (y x,
)
。
使
用面板数据的最终目标之一就是利用获取的信息对参数
进行统计推断,譬如
常假设假定的
y
是关于
x
的线性函数的简单模型。协方差分析检验是识别样本
波动源时广泛采用的方法。
方差分析:常指一类特殊的线性假设,这类假设假定随机变量 y 的期望值
仅与所考察个体所属的类(该类由一个或多个因素决定)有关,但不包括与回
归有关的检验。而协方差分析模型具有混合特征,既像回归模型一样包含真正
的外生变量,同时又像通常的方差一样允许每个个体的真实关系依赖个体所属
的类。
常用来分析定量因素和定性因素影响的线性模型为:
x
it
u
it
,i 1, , N ,t 1, ,Ty
it
it
*
it
从两个方面对回归系数估计量进行检验:首先,回归斜率系数的同质性;
其次,回归截距系数的同质性。检验过程主要有三步:
(1) 检验各个个体在不同时期的斜率和截距是否都相等;
(2) 检验(各个体或各时期的)回归斜率(向量)是否都相等;
(3) 检验各回归截距是否都相等。
显然,如果接受完全同同质性假设(1),则检验步骤中止。但如果拒绝了
完全同质性性假设,则(2)将确定回归斜率是否相同。如果没有拒绝斜率系数
的同质性假设,则(3)确定回归截距是否相等。(1)是从(2)、(3)分离出来
的。
基本思想:在作两组或多组均数
y
1
,
y
2
,
…,
y
k
的假设检验前,用线性回
归分析方法找出协变量 X 与各组 Y 之间的数量关系,求得在假定 X 相等时修定
均数
y
1
,
y
2
,…,
y
k
然后用方差分析比较修正均数间的差别,这就是协方差
分析的基本思想。
协方差分析的应用条件:⑴要求各组资料都来自正态总体,且各组的方差
相等;(
t
检验或方差分析的条件)⑵各组的总体回归系数
i
相等,且都不等于
0(回归方程检验)。因此,应用协方差分析前,要对资料进行方差齐性检验和
回归系数的假设检验(斜率同质性检验),只有满足上述两个条件之后才能应
用,否则不宜使用。
⑴各比较组协变量 X 与分析指标 Y 存在线性关系(按直线回归分析方法进
1
行判断)。
⑵各比较组的总体回归系数
i
相等,即各直线平行(绘出回归直线,看是否
平行)。
协方差分析适用的资料:完全随机设计、随机区组设计、拉丁方设计、析
因设计等资料;协变量 X 可以仅有一个,称一元协方差分析;协变量也可以有
多个,称多元协方差分析。
协方差计算公式:
相关系数:
r
(x x)( y y)
(x x )
( y y)
2 2
将公式右端的分子分母同除以自由度(n-1),得:
r
(x x)(y y) / (n 1)
(x x)
( y y)
2 2
其中:
(n 1)
(n 1)
(x x )
n 1
2
是 x 的均方 MS
x
,它是 x 的方差
x
2
的无偏估计量;
2
( y y)
n 1
2
是 y 的均方 MS
y
,它是 y 的方差
y
的无偏估计量;
(x x )( y y)
称为 x 与 y 的平均的离均差的乘积和,简称均积,记为 MP
xy
,即
n 1
(
x)(
y)
xy
(x x )( y y)
n
MP
xy
=
n 1 n 1
与均积相应的总体参数叫协方差(covariance),记为 COV(x,y)或
xy
。统计
学证明了,均积 MP
xy
是总体协方差 COV(x,y)的无偏估计量,即 EMP
xy
=
COV(x,y)。于是,样本相关系数 r 可用均方 MS
x
、MS
y
,均积 MP
xy
表示为:
r
MP
xy
MS
x
MS
y
相应的总体相关系数
ρ
可用 x 与 y 的总体标准差
x
、
y
,总体协方差
COV(x,y)或
xy
表示如下:
COV (x, y)
x
y
2
xy
x
y
均积与均方具有相似的形式,也有相似的性质。在方差分析中,一个变量
的总平方和与自由度可按变异来源进行剖分,从而求得相应的均方。统计学已
证明:两个变量的总乘积和与自由度也可按变异来源进行剖分而获得相应的均
积。这种把两个变量的总乘积和与自由度按变异来源进行剖分并获得相应均积
的方法亦称为协方差分析。
1.协方差分析是将线性回归与方差分析相结合的一种分析方法;
2.把对反应变量 Y 有影响的因素 X 看作协变量,建立 Y 对 X 的线性回
归,利用回归关系把 X 值;
3.化为相等,再进行各组 Y 的修正均数间比较。修正均数是假设各协变量
取值固定在其总均数时的反应变量 Y 的均数。
其实质是从 Y 的总离均差平方和
(Y Y )
2
中,扣除协变量 X 对 Y 的回归
平方和
(Y Y )
,对离回归平方和
(Y Y )
2
作进一步分解后再进行方差分析。
方差分析的前提是除随机误差外,水平变量是影响观测值的唯一变量,方
差分析数据结构:
2
Y
ij
u t
i
e
ij
第 i 组的组
效应
第 i 组第 j 个观
测值
一般均值
随机误差
协方差分析将方差分析与回归分析结合了起来,协方差分析数据结构:
u
y
t
i
e
(X
ij
u
x
)
ij
Y
ij
回归系数
3
协变量效应
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