CS577_311_325_final_review.pdf

在CS577课程《Introduction to Algorithms》的期末考试复习问题中，主要涉及了两个算法相关的知识点：2-色问题和区间调度问题。 1. **2-色问题**： 这是一个图论中的经典问题，主要是判断一个图是否可以被2种颜色进行着色，使得相邻的节点颜色不同。解决这个问题的一个常见方法是使用宽度优先搜索（BFS）。从任一节点出发，按BFS顺序给每一层的节点分配不同的颜色，例如第一层为红色，第二层为蓝色，第三层为红色，以此类推。然后检查所有边，确保每条边的两个端点颜色不同。这种算法的时间复杂度是O(|V | + |E|)，其中|V |表示顶点的数量，|E|表示边的数量。最后一步的检查确保了算法的正确性。 2. **区间调度问题**： 在这个场景中，我们面临一个任务调度的问题，有n个请求，每个请求有起始时间和结束时间。目标是找出一个非重叠的调度方案，以安排尽可能多的请求。一个最优的贪心算法是：每次都选择剩余请求中最早结束的那个。然后，从请求集中移除所有与之冲突的请求。为了证明这个算法的最优性，我们可以使用"Stay Ahead"方法。 假设A=i1, ..., ik是按照贪心算法添加顺序选择的请求，而O=j1, ..., jm是按结束时间排序的最优解。令f(q)表示任务q的结束时间。我们的目标是证明对于所有r≤k，f(ir)≤f(jr)。我们可以通过归纳法来证明。 - **基础步骤**（r=1）：因为贪心算法首先选择了最早结束的任务，所以f(i1)≤f(j1)。 - **归纳步骤**（t>1）：假设对于t-1，即f(it-1)≤f(jt-1)成立，我们需要证明这个结论对t也成立。由于任何可以加入最优解的任务也可以加入贪心解，因此f(ir)≤f(jr)。 通过归纳法，我们证明了对于所有r≤k，f(ir)≤f(jr)。接下来，我们要证明m≤k。如果k<m，那么在最优解O中存在一个未被贪心算法选择的任务jk+1，这与贪心算法始终选择最优的性质相矛盾，因此k不能小于m，从而得出m≤k的结论，证明了贪心算法的最优性。 这两个问题展示了图算法和优化策略在实际问题中的应用。2-色问题利用了图的结构特性，而区间调度问题则体现了贪心策略在寻找全局最优解时的有效性。这些是算法设计和分析的基础概念，对于理解和解决计算机科学中的许多问题至关重要。