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大旋转角空间相似变换的封闭解模型研究.docx
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大旋转角空间相似变换的封闭解模型研究.docx
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摘要
使用最小二乘迭代法计算空间相似变换参数时,平移参数初值精度低或旋转角度大会造成结果误差
过大,而封闭解法可以在无需初始值和线性化处理的条件下对数据进行解算。针对大旋转角空间相
似变换问题,提出了转换模型的 3 种封闭解法,并介绍了封闭解法的原理。结合算例比较了 3 种封
闭解法的精度、抗粗差能力等特点,并对其工程具体应用进行了讨论。
Abstract
When using the least square iteration method to calculate the parameters of spatial
similar transformation, the low accuracy of the initial value of the translation
parameters or the large rotation angle will result in a large error. We can use the
closed-form solution method to solve the data without the initial value and
linearization treatment. Aiming at the problem of spatial similarity transformation
with large rotation angle, three closed-form solutions of spatial similarity
transformation model are proposed, and the principles of three closed solutions are
given. The calculation accuracy, robust ability and other characteristics of these
three closed-form solutions are compared. And their engineering applications are
also discussed.
译
关键词
空间相似变换; 大旋转角; 最小二乘迭代法; 封闭解法
Keywords
spatial similar transformation; large rotation angle; least square iteration
method; closed-form solution method
译
空间相似变换是指对空间单元模型进行平移、旋转和缩放的变换,其模型在测绘领域有着广泛应用,
如不同空间直角坐标系之间的坐标转换、摄影测量数据处理时的绝对定向、三维激光扫描数据处理
时的点云配准等。旋转角大小不同会导致解法的差异。传统的线性模型依据的是微分相似变换原理,
只有 3 个旋转角非常小的时候,对旋转角参数作线性近似处理才不会引起较大误差。若旋转角较大,
采用线性模型时,会引起较大的模型误差,使得解算获得的参数极大偏离真值
[1]
。
当出现大旋转角的情况时,可以把大旋转角转化为小的角度。此外,国内外学者也研究了一些针对
大旋转角的解法,较为常用的有最小二乘模型和条件平差法模型。其他学者也提出了一些模型,秦
世伟等
[2]
提出了坐标重心化转换矩阵模型,先对坐标进行重心化处理,减少了平移参数带来的误差,
并使算法更简洁;陈义等
[3]
提出了通过方向余弦计算的十三参数模型。这些方法都为相似变换的计
算提供了新思路,但仍需要最小二乘迭代求解,仍要通过对初值进行迭代计算和微分变换来获得解
析解。
本文将计算机视觉领域常用的直接解法应用到空间相似变换中,在最小二乘准则下添加旋转矩阵正
交的约束条件,利用数值计算求得旋转矩阵,再进一步求出平移和尺度参数。此解法无需初值和迭
代计算,适用于解算大旋转角的空间相似变换问题。
1 空间相似变换模型及其传统解
1)空间相似变换模型。现假设空间有 n 个点,在两个坐标系 O-xyz 和 O-XYZ 的值分别为
(xi,yi,zi)
、
(Xi,Yi,Zi)
, 其中,i=1, 2, …, n。上述两个坐标系存在坐标平移参数(X
0
, Y
0
, Z
0
);同时,两坐标轴之间分别存在绕
X 轴、Y 轴、Z 轴的旋转角 α、β、γ;且两个坐标系存在的坐标缩放比为 μ。则公共点的两套坐标值存在
以下关系:
⎡⎣⎢XYZ⎤⎦⎥=⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥+(1+μ)R⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥[XYZ]=[X0Y0Z0]+(1+μ)R[xyz]
1
其中,旋转矩阵 R 计算公式为:
R=RX(α)RY(β)RZ(γ)=⎡⎣⎢1000cosα−sinα0sinαcosα⎤⎦⎥⎡⎣⎢cosβ0sinβ010−sinβ0cosβ⎤⎦⎥⎡⎣⎢cos
γ−sinγ0sinγcosγ0001⎤⎦⎥R=RX(α)RY(β)RZ(γ)=[1000cosαsinα0−sinαcosα][cosβ0−
sinβ010sinβ0cosβ][cosγsinγ0−sinγcosγ0001]
2
2)相似变换模型的传统解法。在传统的解算模型中,存在 3 个平移参数、3 个旋转参数、1 个尺
度参数共 7 个参数。由于 Bursa-Wolf 模型对式(2)中的三角函数采用了微分变换,只能应用于
小旋转角的坐标转换,当处理大旋转角下的相似变换时,需要在构成误差方程处对式(1)在参数
近似值附 近进行泰勒 级数展开。 获得误差方程后,利用间接 平差迭代的 方法求解七 参数的改正值:
在开始迭代时,将 7 个参数的初值都设置为 0,并设置迭代终止的条件;当某次迭代的结果满足精
度要求时,停止迭代,输出结果及迭代次数。误差方程如下:
⎡⎣⎢⎢V′XV′YV′Z⎤⎦⎥⎥=⎡⎣⎢δX0δY0δZ0⎤⎦⎥+R0X(α)R0Y(β)R0Z(γ)⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥δμ+(1+μ0)∂R0X(α)∂αR0Y(β)R0Z
(γ)⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥δα+(1+μ0)R0X(α)∂R0Y(β)∂βR0Z(γ)⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥δβ+(1+μ0)R0X(α)R0Y(β)∂R0Z(γ)∂γ⎡⎣⎢xyz⎤⎦
⎥δγ−li[VX′VY′VZ′]=[δX0δY0δZ0]+RX0(α)RY0(β)RZ0(γ)[xyz]δμ+(1+μ0)∂RX0(α)∂αRY0(β)R
Z0(γ)[xyz]δα+(1+μ0)RX0(α)∂RY0(β)∂βRZ0(γ)[xyz]δβ+(1+μ0)RX0(α)RY0(β)∂RZ0(γ)∂γ[xy
z]δγ−li
3
其中,
li=⎡⎣⎢XYZ⎤⎦⎥−⎡⎣⎢X0Y0Z0⎤⎦⎥+(1+μ0)R0X(α)R0Y(β)R0Z(γ)⎡⎣⎢xyz⎤⎦⎥li=[XYZ]−[X0Y0Z0]+(1+μ0)RX0(
α)RY0(β)RZ0(γ)[xyz]
4
2 空间相似变换模型的封闭解
封闭解法是指通过严格的公式推导,利用包含分式、三角函数、指数、对数等形式的表达式,通过
给出的自变量求出其因变量,再通过数值计算相应问题的方法,也称解析解。
2.1 基于罗德里格矩阵的空间相似变换
根据罗德里格矩阵的原理,待求的正交旋转矩阵 R 可以看成是由三阶单位矩阵 I 和反对称矩阵 S
构成的罗德里格矩阵:
R=(I+S)(I−S)−1R=(I+S)(I−S)−1
5
其中,反对称矩阵模型为:
S=⎡⎣⎢0cb−c0a−b−a0⎤⎦⎥S=[0−c−bc0−aba0]
6
式中,a、b、c 为反对称矩阵中的 3 个未知参数。罗德里格矩阵的坐标转换模型的 7 个待求参数就
可以利用 3 个以上公共点求出。计算时首先计算旋转参数,然后计算尺度参数,最后计算平移参数。
若有 3 组公共点坐标,将 3 组公共点的坐标代入式(1),并互相作差,即可消去平移参数,利用
式(7)可以求出罗德里格矩阵的参数。
⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢0−Z12−Z′12Y12+Y′120−Z12−Z′12Y13+Y′213−Z12−Z′120X12+X′12−Z12−Z′120X13+X′13−Y
12−Y′12X12+X′120−Y13−Y′13X13+X′130⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥×⎡⎣⎢abc⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢X′12−X12Y′12−Y12Z′12−X
Z12X′13−X13Y′13−Y13Y′13−Y13⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥[0−Z12−Z12′−Y12−Y12′−Z12−Z12′0X12+X12′Y12+Y12′
X12+X12′00−Z12−Z12′−Y13−Y13′−Z12−Z12′0X13+X13′Y13+Y13′2X13+X13′0]×[abc]=[X12′−X12
Y12′−Y12Z12′−XZ12X13′−X13Y13′−Y13Y13′−Y13]
7
计算尺度参数可以通过任意两点在不同坐标系下坐标的距离比算出,其公式如下:
λij=(Xj−Xi)2+(Yj−Yi)2+(Zj−Zi)2(xj−xi)2+(yj−yi)2+(zj−zi)2−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−�⎷��λij=(Xj−Xi)2+(Yj−Yi)2+(Zj−Zi)2(xj−xi)2+(yj−yi)2+(zj−zi)2
8
由式(8)可得到 n 个公共点之间的距离比,算出平均值,即尺度参数的值:
λ=1+μ=2n(n−1)∑i=1n−1∑j=i+1nλijλ=1+μ=2n(n−1)∑i=1n−1∑j=i+1nλij
9
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