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集合约束下多智能体系统分布式固定时间优化控制.docx
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集合约束下多智能体系统分布式固定时间优化控制.docx
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分布式优化在多机器人系统、传感器网络、机器学习等领域应用前景广阔, 因此成为
了当前的一个研究热点
[1-2]
. 基于多智能体系统框架的各种分布式算法被相继提出并用于解
决各类优化问题
[3-16]
. 文献[3]利用离散时间一致性和次梯度法求解无约束分布式优化问题.
文献[4]采用分布式投影次梯度法解决带集合约束的优化问题. 基于原始对偶最优解的鞍点
特征, 文献[5]设计分布式原始对偶次梯度算法, 求解带等式和不等式约束的优化问题. 文献
[6]采用一种近似梯度算法求解无精确梯度信息的受约束分布式凸优化问题. 文献[7]利用一
种基于投影梯度的分布式分层算法求解受集合约束的大规模多簇优化问题. 文献[8]应用一
种分布式优化最小化方法来解决拉普拉斯正则化问题. 利用连续时间动力学系统分析工具
[9-
16]
, 分布式连续时间算法也得到广泛的关注. 文献[10]采用一种基于零梯度和原理的分布式
连续时间算法求解无约束优化问题. 文献[11]给出一种分布式连续时间算法, 使得智能体状
态量收敛到约束集合内的最优一致值. 基于拉格朗日乘子法和 KKT (Karush-Kuhn-Tucker)
条件, 文献[12]给出一种求解带局部不等式约束的分布式连续时间优化算法. 文献[13]采用
基于神经动力学的分布式计算方法求解带全局耦合约束的凸优化问题. 文献[14]采用分布式
比例积分协议求解受约束最优化问题. 文献[15]研究时变目标函数下的分布式无约束优化问
题.
收敛速率是评价算法性能的重要指标之一. 基于线性协议的分布式优化算法
[3-16]
仅实现
渐近或指数收敛, 理论上在时间趋于无穷时获得最优解, 这导致实际应用中只能得到次优
解. 然而, 一些实际应用需要快速求取优化解, 例如燃料有限的宇宙飞船交会对接问题, 能
源系统的在线实时调度等问题. 为加速算法的收敛速度, 近年来分布式有限时间收敛算法得
到广泛关注
[17-20]
. 基于分布式零梯度和优化算法
[10]
和有限时间一致性方法, 文献[17]给出一
种有限时间分布式一致性优化算法. 文献[18]针对时变目标函数优化问题, 提出一种基于二
阶多智能体系统的分布式有限时间算法. 文献[19]利用梯度符号信息, 提出一种分布式有限
时间优化算法. 文献[17-19]仅考虑无约束优化问题. 文献[20]提出的分布式有限时间优化算
法能处理非一致梯度增益和集合约束. 虽然有限时间控制拥有收敛速率快、干扰抑制性
好、鲁棒性强等优点
[21-23]
, 但其收敛时间的上界取决于系统初始状态, 且随着初始值的增大
而增大. 当系统初始状态未知时, 收敛时间难以预先估计.
为克服有限时间控制的不足, 文献[24]提出了固定时间稳定的概念, 固定时间控制使得
收敛时间的上界不依赖系统初始状态, 仅与控制参数相关. 分布式固定时间一致性算法已得
到广泛研究
[25-29]
. 对于带约束的优化问题, 分布式固定时间一致性算法往往不能直接用于求
解. 目前关于分布式固定时间优化算法还未得到广泛研究. 对于无约束优化问题, 文献[30]
的分布式算法能实现智能体状态量的固定时间一致性, 而最优解为渐近收敛. 文献[31]利用
分布式固定时间算法求解带等式约束的优化问题.
受现有研究的启发, 本文利用时变增益法和固定时间投影法, 提出一类新的分布式算
法, 用于求解集合约束下多智能体系统凸优化问题. 提出的固定时间投影法既能处理智能体
相同局部集合约束的情况, 也易于处理智能体不同局部集合约束的情形. 不同于现有渐进收
敛算法
[3-16]
, 本文的算法能在固定时间内收敛于最优解. 采用固定时间李雅普诺夫函数法严
格证明了算法的固定时间收敛特性. 在满足全局目标函数强凸的条件下, 本算法允许局部目
标函数是非凸的.
1. 问题描述和预备知识
本文中, RR, R+R+和 RnRn 分别表示实数、非负实数和 nn 维实空间. 对于两个实列向
量 yy=[y1,⋯,yn]T∈Rnyy=[y1,⋯,yn]T∈Rn 和 zz=[z1,⋯,zn]T∈Rnzz=[z1,⋯,zn]T∈
Rn, yyzz=[y1z1,⋯,ynzn]T∈Rnyyzz=[y1z1,⋯,ynzn]T∈Rn 表示它们对应的分量分别相乘. 令
sig(yy)γsig(yy)γ 表示 sign(yy)|yy|γsign(yy)|yy|γ, 其
中, sign(yy)=[sign(y1),⋯,sign(yn)]Tsign(yy)=[sign(y1),
⋯,sign(yn)]T, |yy|γ=[|y1|γ,⋯,|yn|γ]T|yy|γ=[|y1|γ,⋯,|yn|γ]T, γ>0γ>0. ∥yy∥l‖yy‖l 表示向量 yyyy
的 ll 范数(即∥yy∥l=(∑ni=1|yi|l)1l‖yy‖l=(∑i=1n|yi|l)1l), 且∥yy∥ll‖yy‖ll 表示
(∥yy∥l)l=∑ni=1|yi|l(‖yy‖l)l=∑i=1n|yi|l. ∇f(yy)∇f(yy)表示函数 f(yy)f(yy)在 yyyy 处的梯
度. 11n(00n)11n(00n)表示元素全为 1 (0) 的 nn 维列向量, InIn 表示 n×nn×n 维单位矩阵, ⊗
⊗表示克罗内克乘积.
1.1 问题描述
考虑由 nn 个智能体组成的多智能体系统, 每个智能体的动力学模型由如下的连续时
间单积分器描述
xx˙i=uuixx˙i=uui
(1)
其中, xxi∈Rmxxi∈Rm 表示第 ii 个智能体的状态, uui∈Rmuui∈Rm 为第 ii 个智能体的
控制输入. 本文将设计控制输入 uuiuui 使得多智能体系统在固定时间内求解如下带集合约
束的优化问题
minf(xx)=∑i=1nfi(xx) s.t.xx∈Ω=⋂i=1nΩiminf(xx)=∑i=1nfi(xx) s.t.xx∈Ω=⋂i=1nΩi
(2)
其中, 全局目标函数 f(xx)f(xx)为每个智能体的局部目标函数
fi(xx):Rm→Rfi(xx):Rm→R 之和; Ωi⊂RmΩi⊂Rm 为闭凸集合, 表示第 ii 个智能体的局部集合
约束; fi(xx)fi(xx)和 ΩiΩi 为第 ii 个智能体的局部信息. 优化问题(2)等价于如下优化问题
minf(xx)=∑i=1nfi(xxi) s.t.xxi=xxj∈Ω=⋂i=1nΩiminf(xx)=∑i=1nfi(xxi) s.t.xxi=xxj∈Ω=⋂i=1nΩi
(3)
优化问题(2)和(3)有广阔的工程应用范围. 例如, 智能电网中储能系统的优化管理和电
力负载的最优分配
[12, 30, 32]
, 传感器网络中未知参数的估计和未知目标的定位
[32-33]
, 机器学习
中基于损失函数最小化的模型拟合
[1]
.
在对目标函数进行描述前, 先介绍一些关于凸函数的概念
[34-35]
. 对于实函数
g(zz):Rn→Rg(zz):Rn→R, 如果对任意的 zz1,zz2zz1,zz2 和 0<c<10<c<1, 有
g(czz1+(1−c)zz2)≤g(czz1+(1−c)zz2)≤ cg(zz1)+(1−c)g(zz2)cg(zz1)+(1−c)g(zz2), 则称
g(zz)g(zz)为凸函数; 此外, 若存在常数 σ>0σ>0, 使得
g(czz1+(1−c)zz2)≤cg(zz1)+g(czz1+(1−c)zz2)≤cg(zz1)+(1−c)g(zz2)−12σc(1−c)∥zz1−zz2∥22(
1−c)g(zz2)−12σc(1−c)‖zz1−zz2‖22 成立, 则称 g(zz)g(zz)为 σσ 强凸函数. 当 g(zz)g(zz)连续可
微时, g(zz)g(zz)为凸函数当且仅当对任意的 zz1,zz2zz1,zz2, 有
g(zz1)≥g(zz2)+∇g(zz2)T(zz1−g(zz1)≥g(zz2)+∇g(zz2)T(zz1−zz2)zz2);g(zz)g(zz)为 σσ 强凸函
数当且仅当对任意的 zz1,zz2zz1,zz2, 有
g(zz1)−g(zz2)−∇g(zz2)T(zz1−zz2)≥σ2∥zz1−zz2∥22g(zz1)−g(zz2)−∇g(zz2)T(zz1−zz2)≥σ2‖zz1−
zz2‖22 .
为实现多智能体系统(1)在固定时间内求解优化问题(3), 本文给出如下假设.
假设 1. 局部目标函数 fi(xx)fi(xx)是连续可微的, 全局目标函数 f(xx)f(xx)是强凸的.
假设 2. 所有局部闭凸集合 ΩiΩi 的交集是非空的, 即 Ω≠∅Ω≠∅.
注 1. 假设 1 和假设 2 意味着优化问题(2)有唯一最优解
[35]
. 全局目标函数的强凸性不
要求所有局部目标函数是强凸的(或者凸), 这意味着本文的假设允许某些局部目标函数是非
凸的, 仿真实例将进一步说明.
1.2 代数图论
多智能体系统的双向通信拓扑用加权无向图 G=(V,E,A)G=(V,E,A)来描述. 其
中, V={1,2,⋯,n}V={1,2,⋯,n}表示智能体的集合, E⊆V×VE⊆V×V 表示智能体间的通信链路集
合, 加权邻接矩阵 A=[aij]∈Rn×nA=[aij]∈Rn×n 表示通信权重. 一条边(i,j)∈E(i,j)∈E 意味着
智能体 ii 和 jj 能相互交换信息. 智能体 ii 的通信邻居表示为 Ni={j∈V|(i,Ni={j∈V|(i,j)∈E}j)
∈E}. 若存在一组边(i,i1),(i1,i2),⋯,(ik,j)(i,i1),(i1,i2),⋯,(ik,j), 则称智能体 ii 和 jj 是连通的. 当
任意两个智能体 ii 和 jj 都是连通的, 则称图 GG 是连通的. 如果(i,j)∈E(i,j)∈E, 则
aij=aji=1aij=aji=1, 否则 aij=0aij=0. 定义拉普拉斯矩阵 L=L=[lij]∈Rn×n[lij]∈Rn×n, 其中
lii=∑nj=1aijlii=∑j=1naij,lij=−aij,∀i≠jlij=−aij,∀i≠j. 对于一个无向连通图, 如果
11Tnyy=0,11nTyy=0,则 yyTLyy≥yyTLyy≥λ2(L)yyTyyλ2(L)yyTyy, 其中 λ2(L)λ2(L)为拉普拉
斯矩阵的最小非零特征值.
1.3 相关引理
定义连续函数 h:(a,b)→Rh:(a,b)→R 的 Dini 导数为
D+h(t)=lims→0+suph(t+s)−h(t)sD+h(t)=lims→0+suph(t+s)−h(t)s
(4)
如下引理可用于计算 Dini 导数.
引理 1
[9]
. 令 V(t,xx)=maxi=1,⋯,nVi(t,xx)V(t,xx)=maxi=1,⋯,nVi(t,xx), 其中
Vi(t,xx):R×Rn→RVi(t,xx):R×Rn→R, i=1,⋯,ni=1,⋯,n, 连续可微. 记
Γ(t)={i:V(t,xx)=Vi(t,xx)}Γ(t)={i:V(t,xx)=Vi(t,xx)}, 则
D+V(t,xx)=maxi∈Γ(t)V˙i(t,xx)D+V(t,xx)=maxi∈Γ(t)V˙i(t,xx)
对于给定的闭凸集 Θ⊂RnΘ⊂Rn 和点 yy∈Rnyy∈Rn, 令 PΘ(yy)PΘ(yy)表示 yyyy 在
ΘΘ 上的投影; |yy|Θ=infzz∈Θ∥yy−zz∥2|yy|Θ=infzz∈Θ‖yy−zz‖2 表示 yyyy 和 ΘΘ 之间的距离.
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