基于协方差矩阵重构的离网格DOA估计方法.docx

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1. 引言

作为阵列信号处理领域研究热点之一，波达方向角(Direction Of Arrival, DOA)估计技

术在无线通信、目标跟踪、语音处理、雷达和射电天文学等领域皆有广泛应用

[1,2]

。随着

DOA 估计理论研究的不断深入，各种 DOA 估计方法相继被提出。经典的子空间类方法可

实现超分辨测向，例如多重信号分类(MUltiple SIgnal Classification, MUSIC)

[3]

、旋转不变子

空间(Estimation of Signal Parameters via Rotational Invariance Technique, ESPRIT)

[4]

等，然而

在低信噪比条件下，其估计性能将显著下降

[5]

。针对此问题，文献[6]提出一种最大似然

(Maximum Likelihood, ML)DOA 估计算法，其通过逐步迭代求解信号和噪声的对数似然函

数以实现 DOA 估计，低信噪比条件下，其性能明显优于 MUSIC 算法，但其非常依赖初始

值的选取且算法复杂度较高，从而限制了该算法的实际应用。因此，如何改善 DOA 估计

算法性能同时降低计算复杂度是当前阵列信号处理领域的研究热点之一。

近年来，稀疏信号表示

[7,8]

和压缩感知

[9,10]

理论已逐步成为参数估计领域的有力工具。

随着稀疏重构算法研究的不断深入，研究者相继提出众多基于信号空域稀疏特性的 DOA

估计方法，其中最具代表性的 L1-SVD

[11]

算法，其利用 L1 范数构建稀疏模型而后通过奇异

值分解降低计算复杂度。文献[12]提出一种基于加权 L1 范数稀疏重构 DOA 估计算法，其

利用信号稀疏性并基于改进 Capon 算法的倒谱函数设计权值并构造加权 L1 范数凸优化问

题以实现信源数目未知场景下 DOA 估计。文献[13]提出一种基于稀疏贝叶斯推理(Sparse

Bayesian Inference, SBI)的互质阵列 DOA 估计算法，其利用线性变换从协方差向量中消除

噪声方差，而后联合参数字典学习和稀疏恢复迭代更新以实现 DOA 估计。文献[14]提出一

种基于低秩恢复的稳健 DOA 估计方法，其利用采样协方差矩阵稀疏及低秩特性构造关于

信号和噪声协方差矩阵的凸问题，而后利用 MVDR 方法实现 DOA 估计。需要注意的是，

上述 DOA 估计算法皆假设信源 DOA 精确位于预设离散网格点上，然而，信号实际到达角

度可能与预设离散网格存在偏移，由此，所得估计存在一定误差

[10]

。针对此问题，最直观

的解决方法是减小网格间距离，即利用较小步长即更密集搜索网格覆盖探测空间以降低估

计误差，然而，此方法会显著增加计算复杂度且增加超完备字典原子之间相干性从而违背

有限等距性质(Restricted Isometry Property, RIP)进而导致估计误差增大。针对上述问题，文

献[15]提出基于稀疏贝叶斯学习的离网格(Off-Grid Sparse Bayesian Learning, OGSBL)DOA

估计算法，通过引入偏移量参数至 DOA 稀疏表示模型并基于 SBL 求解，从而解决网格划

分问题。文献[16]提出根稀疏离网格贝叶斯推理(Root Off-Grid SBI, ROGSBI)方法，采用粗

分网格与迭代细分网格相结合优化网格以实现高精度 DOA 估计。需要注意的是，上述算

法虽然基于 SBI 降低离网格效应并降低计算量，然而，其皆没有考虑有限次快拍可导致采

样信号协方差矩阵存在估计误差

[17]

，进而使得上述算法所得 DOA 估计精度提升有限。

针对上述问题，本文提出一种网格失配条件下基于协方差矩阵重构的离散网格 DOA

估计方法(Off-Grid based on Covariance Matrix Reconstruction, OGCMR)。首先，将 DOA 与

网格点之间偏移量包含进接收数据稀疏表示模型；而后基于重构信号协方差矩阵建立关于

DOA 估计的稀疏表示模型；接着，构建采样协方差矩阵估计误差凸模型，并基于采样协方

差矩阵估计误差服从渐进正态分布的统计特性推导估计误差上界，而后将此凸集显式包含

进稀疏模型以改善稀疏信号重构性能进而提升 DOA 估计精度；最后采用交替迭代方法求

解所得联合优化问题以获得稀疏 DOA 和网格偏移参数估计。仿真实验验证了所提算法的

有效性。

2. 阵列信号模型

假设 KK 个远场窄带信号{sk(t)}Kk=1{sk(t)}k=1K 入射至阵元数为 MM 的均匀线性阵

列，则 tt 时刻接收信号模型可表示为

\boldsymbolx(t)=∑k=1K\boldsymbola(θk)sk(t)+\boldsymboln(t)=\boldsymbolA(θ)\boldsymbols(t)+\boldsymboln(t)\boldsymbolx(t)=∑k=1K\boldsymbola(θk)sk(t)+\boldsymboln(t)=\boldsymbolA(θ)\boldsymbols(t)+\boldsymboln(t)

(1)

其中，\boldsymbolx(t)\boldsymbolx(t)为接收数据，

\boldsymbola(θk)=[1,e−j2πdsinθk/λ,⋯,\boldsymbola(θk)=[1,e−j2πdsin⁡θk/λ,

⋯,e−j(M−1)2πdsinθk/λ]Te−j(M−1)2πdsin⁡θk/λ]T 和 sk(t)sk(t)分别为第 kk 个信号源的导向矢

量和信号幅度，dd 和 λλ 分别为阵元间距及载波波长，通常

d≤λ/2d≤λ/2, {θ1,θ2,⋯,θK}{θ1,θ2,⋯,θK}为 KK 个信源 DOA(本文只考虑方位角，所得结论亦

可推广至 2 维 DOA 估计)，

\boldsymbolA(θ)=[\boldsymbola(θ1),\boldsymbola(θ2),⋯,\boldsymbola(θK)]∈CM×K\bo

ldsymbolA(θ)=[\boldsymbola(θ1),\boldsymbola(θ2),⋯,\boldsymbola(θK)]∈CM×K 为阵列导向

矢量矩阵，\boldsymbols(t)=[s1(t),s2(t),⋯,sK(t)]T\boldsymbols(t)=[s1(t),s2(t),

⋯,sK(t)]T∈CK×1∈CK×1 为波形矢量，

\boldsymboln(t)=[n1(t),n2(t),⋯,nM(t)]T\boldsymboln(t)=[n1(t),n2(t),⋯,nM(t)]T 为互不相关

高斯白噪声。

对于 LL 次快拍，式(1)接收信号模型可进一步表示为

\boldsymbolX=\boldsymbolA(θ)\boldsymbolS+\boldsymbolN\boldsymbolX=\boldsymbolA(θ)\boldsymbolS+\boldsymbolN

(2)

其中，

\boldsymbolX=[\boldsymbolx(1),\boldsymbolx(2),⋯,\boldsymbolx(L)]\boldsymbolX=[\

boldsymbolx(1),\boldsymbolx(2),⋯,\boldsymbolx(L)]为接收信号矩阵，

\boldsymbolS=\boldsymbolS=[\boldsymbols(1),\boldsymbols(2),⋯,\boldsymbols(L)][\b

oldsymbols(1),\boldsymbols(2),⋯,\boldsymbols(L)]为信号幅度矩阵，

\boldsymbolN=[\boldsymboln(1),\boldsymboln(2),⋯,\boldsymbolN=[\boldsymboln(1),\bol

dsymboln(2),⋯,\boldsymboln(L)]\boldsymboln(L)]为噪声矩阵。

假设信号和噪声互不相关，且信源相互独立

[18]

，则接收信号协方差可表示为

\boldsymbolR=E{\boldsymbolX\boldsymbolXH}=\boldsymbolA(θ)\boldsymbolP\boldsymbolAH(θ)+σ2\boldsymbolI=\boldsymbolRs+σ2\boldsymbolI\boldsymbolR=E{\boldsymbolX\boldsymbolXH}=\boldsymbolA(θ)\boldsymbolP\boldsymbolAH(θ)+σ2\boldsymbolI=\boldsymbolRs+σ2\boldsymbolI

(3)

其中，\boldsymbolR\boldsymbols\boldsymbolR\boldsymbols 为无噪声信号协方差矩

阵，

\boldsymbolP=E{\boldsymbolS\boldsymbolSH}\boldsymbolP=E{\boldsymbolS\boldsymbol

SH}为信号功率协方差矩阵，σ2σ2 为噪声功率。

实际应用中，接收协方差矩阵\boldsymbolR\boldsymbolR 基于 LL 次有限采样快拍估

计得到

[13]

，即

\boldsymbolR^=1L\boldsymbolX\boldsymbolXH\boldsymbolR^=1L\boldsymbolX\boldsymbolXH

(4)

3. 离网格 DOA 估计模型

假设信源方位角离散划分为覆盖所有可能目标入射方向的 NN 个网格，即

θ¯={θ¯1,θ¯2,⋯,θ¯N}θ¯={θ¯1,θ¯2,⋯,θ¯N}，且网格个数 N≫M>KN≫M>K。对于有网格模型，

假设信源无偏入射至预设网格点上，即 θ∈θ¯θ∈θ¯，则式(2)可重新表述为

\boldsymbolX=\boldsymbolA(θ¯)\boldsymbolS¯+\boldsymbolN\boldsymbolX=\boldsymbolA(θ¯)\boldsymbolS¯+\boldsymbolN

(5)

其中，

\boldsymbolA(θ¯)=[\boldsymbola(θ¯1),\boldsymbola(θ¯2),⋯,\boldsymbola(θ¯N)]\boldsy

mbolA(θ¯)=[\boldsymbola(θ¯1),\boldsymbola(θ¯2),⋯,\boldsymbola(θ¯N)]为超完备字典，

\boldsymbolS¯\boldsymbolS¯为扩展后得到的行稀疏信号矩阵。

基于超完备矩阵\boldsymbolA(θ¯)\boldsymbolA(θ¯)的表示下，协方差矩阵

\boldsymbolR\boldsymbolR 可稀疏表示为

\boldsymbolr=(\boldsymbolA∗(θ¯)⊗\boldsymbolA(θ¯))\boldsymbolP¯=\boldsymbolA~(θ¯)\boldsymbolP¯\boldsymbolr=(\boldsymbolA∗(θ¯)⊗\boldsymbolA(θ¯))\boldsymbolP¯=\boldsymbolA~(θ¯)\boldsymbolP¯

(6)

其中，

\boldsymbolr=vec(\boldsymbolR−σ2\boldsymbolI)\boldsymbolr=vec(\boldsymbolR−σ2\bo

ldsymbolI)，⊗⊗为 Kronecker 积，

\boldsymbolA~(θ¯)=\boldsymbolA~(θ¯)=\boldsymbolA∗(θ¯)⊗\boldsymbolA(θ¯)\boldsym

bolA∗(θ¯)⊗\boldsymbolA(θ¯), \boldsymbolP¯=[P¯1,P¯2,⋯,P¯N]T\boldsymbolP¯=[P¯1,P¯2,

⋯,P¯N]T 为扩展后得到的信号功率向量。

然而，实际应用中，无论网格 θ¯θ¯划分得多密，各个真实信源方位角 θiθi 不太可能刚

好位于所划分网格上，即 θi∉θ¯,i∈{1,2,⋯,K}θi∉θ¯,i∈{1,2,⋯,K}。此外，随着网格密度增

大，计算量也增加，且增强了字典中原子之间相关性从而导致 DOA 估计性能变差

[19]

。针