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电熔镁砂熔炼过程电极电流饱和约束一步最优控制.docx
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电熔镁砂熔炼过程电极电流饱和约束一步最优控制.docx
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电熔镁砂熔炼过程如图 1 所示, 首先, 将菱镁矿石运送至原矿仓, 然后, 经电振给料机
将菱镁矿石加入电熔镁炉中, 通过供电系统供电, 使 A、B 和 C 三相电极末端产生电弧, 菱
镁矿石吸收电弧放出的热量融化, 形成熔池. 电流控制系统通过产生电流以控制电机, 使三
相电极上下移动, 进而使三相电极电流跟踪其设定值, 随着菱镁矿石的不断加入以及不断融
化, 熔池液面的高度不断上升, 当熔池的上表面达到炉口时, 熔炼过程结束. 最后, 使用工
具车将电熔镁炉的炉体脱离熔炼工位, 进行冷却和处理, 从而获得电熔镁砂产品
[1]
.
图 1 电熔镁砂熔炼过程
Fig. 1 Fused magnesia smelting process
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电熔镁砂熔炼过程以三相电机转动方向与频率为输入, 以三相电极电流为输出, 采用
埋弧方式, 即将三相电极埋入原矿中, 边熔化边加料, 具有工艺机理复杂、关键参数不能测
量、受原料成分和生产条件等不确定因素干扰、熔炼过程动态变化等综合复杂性. 针对电
熔镁砂熔炼过程, 文献[1]根据能量守恒定律, 建立了电极电流动态模型.
该模型是一类具有未知参数的仿射型离散时间非线性模型, 针对该类模型, 从上个世
纪 90 年代开始, 随着神经网络和模糊逻辑等智能工具的引入, 很多学者开展了相关控制方
法的研究. 文献[2-3]为最早将多层神经网络和模糊逻辑引入到离散时间非线性仿射系统控
制问题的文献. 在此基础上, 文献[4] 基于一定的假设条件, 提出了新的多层神经网络自适
应控制方法, 并给出了收敛性结果; 文献[5-6]提出了基于神经网络与自适应动态规划的近似
最优控制方法; 文献[7]提出了基于单层神经网络的有限水平单网络自适应控制方法; 文献
[8]提出了基于神经网络的有限时间最优控制方法; 文献[9]提出了一种新颖的非策略交错式
Q 学习算法, 并证明了收敛性; 文献[10-11]提出了基于神经网络的容错控制方法;文献[12-
13]提出了自适应模糊控制方法; 文献[14]利用两种模糊规则仿真网络建立系统动态模型, 提
出了一种自适应控制方法; 文献[15]利用直接补偿法, 提出了一种多开关自适应线性化模糊
控制算法, 用于延迟非严格反馈系统, 等等. 上述基于神经网络和模糊逻辑的非线性控制方
法, 算法复杂, 很难在电熔镁炉等复杂的工业过程中进行实际应用. 为了实现电熔镁炉的自
动控制, 文献[1]设计了带输出补偿的 PID 控制方法. 该方法根据电熔镁砂熔炼过程电极电
流对象模型, 首先将其在平衡点附近线性化, 得到由线性模型和未知高阶非线性项组成的控
制器设计模型, 然后根据该控制器设计模型设计带输出补偿的 PID 控制器, 最后用一步最
优前馈控制律和一步最优调节律设计控制器参数. 由于没有考虑实际电机转动频率的约束,
并且控制器设计模型和对象模型之间具有较大的误差, 使得电流跟踪其设定值的误差较大.
本文通过引入中间变量并转化控制目标, 将电熔镁砂熔炼过程三相电极电流的复杂非
线性控制问题简化为线性控制问题, 提出了一种简化的电极电流饱和约束一步最优控制方
法. “一步最优控制”与“一步预报”相对应, 基于“一步预报”的控制即为“一步最优控制”
[16]
. 经
典的一步最优控制算法不能应用于具有饱和约束并且存在外部干扰的实际非线性过程. 本
文通过引入拉格朗日乘子向量和松弛向量验证了该方法的最优性. 此外, 当考虑电熔镁砂熔
炼过程中存在的不可测外部干扰时, 在上述简化的电极电流饱和约束算法的基础上设计了
高阶干扰观测器, 提出了具有高阶干扰观测器的简化算法.
本文的主要创新点如下:
1) 针对电熔镁砂熔炼过程三相电极电流的复杂非线性控制问题, 通过引入中间变量并
转化控制目标, 将其转化为线性控制问题;
2) 通过引入拉格朗日乘子向量和松弛向量, 提出了一种简化的电极电流饱和约束一步
最优控制方法, 解决了电熔镁砂熔炼过程中电极电流的饱和约束控制问题;
3) 设计高阶干扰观测器, 提出了基于高阶干扰观测器的饱和约束一步最优控制方法,
解决了电熔镁砂熔炼过程中存在不可测干扰的电极电流饱和约束控制问题.
1. 控制问题描述及控制目标转化
针对电熔镁砂熔炼过程, 文献[1]根据能量守恒定律, 建立了如下电极电流动态模型:
$$ {\dot{y}_{i}(t) = \frac{\sqrt{3}}{\pi} F_{i}(\cdot) y_{i}^{2}(t)-2 \sqrt{3} Q_{i}(\cdot) u_{i}(t) y_{i}^{2}(t)} $$
(1)
其中, $ i=1,2,3 $分别表示 A, B, C 三相电极, 输入变量$ u_{i}(t) $为第$ i $ 相电机转动
方向与频率, 输出变量$ y_{i}(t) $为第$ i $相电极电
流, $F_{i}(\cdot)=\left[\dfrac{f_{1}(\cdot)}{r_{\rm{iarc }}^{2}}-\dfrac{f_{2}(\cdot)}{2
h_{\rm{ipool }}^{2}(\cdot)}\right] \dfrac{\dot{h}_{\rm{ipool }}(\cdot)}{U}$和
$Q_{i}(\cdot)=\dfrac{f_{1}(\cdot)(1-s) r_{d}}{U r_{\rm iarc}^{2} p}$为非线性时变函数, 涉
及的参数和函数的物理意义如表 1 所示.
表 1 电极电流动态模型中参数的符号及物理意义
Table 1 Symbols and meanings of parameters in dynamic model of electrode current
符号
物理意义
$f_{1}(\cdot)$
随原料颗粒长度和杂质成分变化
的埋弧电阻率
$f_{2}(\cdot)$
随原料颗粒长度和杂质成分变化
的熔池电阻率
$r_{\rm {iarc}}$
埋弧等效弧柱半径
$h_{\rm
{ipool }}(\cdot)$
随原料颗粒长度、杂质和电极电
流变化的熔池高度
$U$
熔炼电压
$p$
电极极对数
$r_{d}$
升降机构等效齿轮半径
$s$
转差率
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采用欧拉法对模型(1)进行离散化
[17]
, 由于$ F_{i}(\cdot) $和$ Q_{i}(\cdot) $随时间变化
缓慢, 因此可假设其为常数, 由此产生的建模误差由电流的变化率$ \Delta y_{i}(k) $来补偿,
故式(1)的离散化模型可表示为式(2)
[1]
:
$$ \begin{split} {y_i}(k + 1) =\;& {y_i}(k) + {\sigma _t}\frac{{\sqrt 3 }}{\pi }{F_i}y_i^2(k) - {\sigma _t} \times \\ &2\sqrt 3 {Q_i}{u_i}\left( k
\right)y_i^2\left( k \right) + \Delta {y_i}\left( k \right) \end{split} $$
(2)
其中, $\sigma_{t} = 1\ {\rm s}$为采样时间, $\Delta =1-z^{-1}$,$ z^{-1} $为单位后移算
子.
电熔镁砂熔炼过程中电极电流动态模型的输入变量$ u_{i}(k) $, 即三相电机转动方向
和频率在实际运行过程中会受到执行器的饱和约束. 本文的目标为针对电熔镁砂熔炼过程
电极电流动态模型(2), 设计饱和约束一步最优控制器, 使得电极电流跟踪其设定值
$ y_{i}^{*}(k) $, 并且控制器输出满足饱和约束, 即$ \left|u_{i}(k)\right| \leq m $, 其中$ m>0
$为电机转动方向与频率的上界, 并且已知. 不失一般性, 首先针对式(2), 做如下假设:
假设 1. 系统输出电极电流$y_{i}(k) \neq 0 .$
式(2)为仿射型非线性模型, 通过观察, 我们发现将式(2)等号左右两边同时除以
$ y_{i}^{2}(k) $, 经过整理可以得到:
$$ \begin{split} &\left[1 - 2{z^{ - 1}} + {z^{ - 2}}\right]\frac{{{y_i}(k + 1)}}{{y_i^2(k)}} = \\ &\quad - 2\sqrt 3 \times {Q_i}{u_i}(k) + \frac{{\sqrt
3 }}{\pi }{F_i} \end{split} $$
(3)
令${{x}_{i}}(k+1)=\dfrac{{{y}_{i}}(k+1)}{y_{i}^{2}(k)}$, $A(z^{-1})=1-2 z^{-1}+z^{-
2}$, $a_{i} =\dfrac{\sqrt{3}}{\pi}{F}_{i}$, $b_{i}=-2 \sqrt{3}{Q}_{i}$, 则式(3)可以简化为:
$$ A({{z}^{-1}}){{x}_{i}}(k+1) = {{b}_{i}}{{u}_{i}}(k)+{{a}_{i}} $$
(4)
不难验证, 当$ \lim\nolimits_{k \rightarrow \infty}|x_{i}(k)-1 / y_{i}^{*}(k)| \rightarrow 0
$时, $ \lim\nolimits_{k \rightarrow \infty}|y_{i}(k)-y_{i}^{*}(k)| \rightarrow 0 $. 因此本文的控
制目标可以转化为: 针对模型(4), 设计控制器使得$ x_{i}(k) $跟踪其设定值$ 1 /
y_{i}^{*}(k) $, 并且控制器输出满足饱和约束, 即$ |u_{i}| \leq m $.
2. 饱和约束一步最优控制
针对式(4), 为了实现系统输出渐近跟踪其设定值, 尽可能降低控制输入幅值, 使其满
足饱和约束, 同时消除$ a_{i} $对系统输出的影响, 现引入一步超前最优性能指标:
$$ \begin{split} J =\;& |P({z^{ - 1}}){x_i}(k + 1) - R({z^{ - 1}})\frac{1}{{y_i^*(k)}}+\\ & Q({z^{ - 1}}){u_i}(k) + S({z^{ - 1}}){a_i}{|^2}
\end{split} $$
(5)
其中, $ P(z^{-1}) $、$ R(z^{-1}) $、$ Q(z^{-1}) $和$ S(z^{-1}) $为加权多项
式. $ P(z^{-1}) $和$ Q(z^{-1}) $的选择保证了闭环系统在输入饱和约束下的稳定性, 通过选
择$ R(z^{-1}) $来消除跟踪误差, 通过选择$ S(z^{-1}) $实现对$ a_{i} $的静态补偿. 为了表
述方便, 我们令$ Q(z^{-1}) = Q_{0}+z^{-1}\bar{Q}(z^{-1}) $, 其中$ \bar{Q}(z^{-1}) =
Q_{1}+Q_{2} z^{-1}+\cdots $. 求解饱和约束一步最优控制律, 就是求解如下带不等式约束
的条件极值问题:
$$ {J^{*} = \min\limits_{|u_{i}(k)|\leq m} J} $$
(6)
采用拉格朗日松弛法, 通过引入拉格朗日乘子参数$ \alpha \geq 0 $和$ \beta \geq 0 $以
及松弛参数$ \mu $和$ {\boldsymbol{v}} $, 将条件极值问题转化为如下不带约束的极值问
题:
$$ {J^{*} = \min\limits_{u_{i}(k), \alpha, \beta , \mu , v} J^{\prime}} $$
(7)
其中, $J' = J+\alpha[u_{i}(k)-m+\mu^{2}]+\beta[-u_{i}(k)- m+ v^{2}]$.
定理 1. 饱和约束一步最优控制律为:
$$ {u_{i}(k) = u_{i}^{\prime}(k)-\frac{\alpha-\beta}{2 D^{2}}} $$
(8)
其中, $D=F b_{i}+Q_{0}$, $ u_{i}^{\prime}(k) $通过下式计算:
$$ \begin{split} D{{u'}_i}\left( k \right) =\;& R\left( {{z^{ - 1}}} \right)\frac{1}{{y_i^*\left( k \right)}} - \bar Q({z^{ - 1}}){u_i}\left( {k - 1} \right)-
\\ & G\left( {{z^{ - 1}}} \right){x_i}\left( k \right) - \left[ {F + S\left( {{z^{ - 1}}} \right)} \right]{a_i} \end{split} $$
(9)
当$ |u_{i}^{\prime}(k)|< m $时, $\alpha=0$, $\beta =0$; 当$ u_{i}^{\prime}(k)\leq -m
$时, $\alpha = 0$, $\beta=2 D^{2}[-m-u_{i}^{\prime}(k)]$; 当$ u_{i}^{\prime}(k) \geq m
$时, $\alpha=2D^{2}[- m+u_{i}^{\prime}(k)]$, $\beta=0$.
证明. 引入 Diophantine 方程:
$$ {P\left(z^{-1}\right) = A\left(z^{-1}\right) F+z^{-1} G\left(z^{-1}\right)} $$
(10)
其中, $ F $为常数, $ G\left(z^{-1}\right) $为 1 阶多项式. 用$ F $乘以式(4)等号左右两
边, 并利用式(10), 可以得到:
$$ \begin{split}P\left(z^{-1}\right) &x_{i}(k+1) = G\left(z^{-1}\right) x_{i}(k)+ \\ &F b_{i} u_{i}(k)+F a_{i}\end{split} $$
(11)
于是由式(7)和式(11)得$ J^{\prime} $对$ u_{i}(k) $的偏导为:
$$ \begin{split} &\frac{{\partial {J^\prime }}}{{\partial {u_i}(k)}} = 2\Bigg[ {P\left( {{z^{ - 1}}} \right){x_i}(k + 1) - R\left( {{z^{ - 1}}}
\right)\frac{1}{{y_i^*(k)}} + } \\ & \quad {Q\left( {{z^{ - 1}}} \right){u_i}(k) + S\left( {{z^{ - 1}}} \right){a_i}} \Bigg]\left( {F{b_i} + {Q_0}}
\right) + \alpha - \beta \end{split} $$
(12)
令$ D = F b_{i}+Q_{0} $, 并将式(11)代入式(12), 则
$$ \begin{split} \frac{\partial {{J}^{'}}}{\partial {{u}_{i}}\left( k \right)} = \;&2D\bigg[D{{u}_{i}}\left( k \right)+\bar{Q}\left( {{z}^{-1}}
\right){{u}_{i}}\left( k-1 \right)+ \\ &G\left( {{z}^{-1}} \right){{x}_{i}}\left( k \right)-R\left( {{z}^{-1}} \right)\frac{1}{y_{i}^{*}\left( k \right)}+\\
&\left[ S\left( {{z}^{-1}} \right)+F \right]{{a}_{i}}+\frac{\alpha -\beta }{2D}\bigg] \end{split}\tag{13a} $$
$ J^{\prime} $对$ \alpha $、$ \beta $、$ \mu $和$ v $的偏导分别为:
$$ {\frac{\partial J^{\prime}}{\partial \alpha} = u_{i}(k)-m+\mu^{2}}\tag{13b} $$
$$ {\frac{\partial J^{\prime}}{\partial \beta} = -u_{i}(k)-m+v^{2}}\tag{13c} $$
$$ {\frac{\partial J^{\prime}}{\partial \mu} = 2 \alpha \mu}\tag{13d} $$
$$ {\frac{\partial J^{\prime}}{\partial v} = 2 \beta v}\tag{13e} $$
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