具有输入约束和输出噪声的不确定系统级联线性自抗扰控制.docx资源-CSDN文库

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不确定系统的控制是控制科学的核心问题

[1]

. 围绕此问题, 涌现出大量的现代控制方

法, 如自适应控制、鲁棒控制、内模原理、滑模控制等

[2]

, 但这些方法在处理不确定性时,

往往因特定的局限性而不利于工程实用. 反倒是经典的 PID 控制, 以其“天生”的抗干扰性和

模型不依赖性, 至今仍广泛应用于工业控制领域. 沿承 PID 控制的思想精髓

[3]

, 韩京清

[4]

在

对依赖于精确数学模型的现代控制理论进行深刻反思的基础上, 于 20 世纪 90 年代提出了

更为高效的自抗扰控制(Active disturbance rejection control, ADRC)技术. 大量理论

[5-7]

和应用

[8-9]

方面的研究表明, ADRC 不依赖被控对象的精确数学模型, 对具有未建模动态、参数摄动

和外界干扰的系统均能实施有效控制, 具有很强的鲁棒性和抗干扰性.

然而, 受限于原始 ADRC 所采用的非线性、非光滑反馈结构, 其理论分析十分困难,

需调节的控制器参数也较多. 为简化 ADRC 的分析与实现, 文献[10-12]针对不同类型的不

确定系统, 研究了线性 ADRC (Linear ADRC, LADRC)方法并着重分析了 LADRC 的收敛性,

揭示了系统性能与控制参数的定量关系. 此外, 文献[13]提出了一种基于高增益观测器的

LADRC 方法, 并进一步放宽假设条件给出了收敛性证明. 然而, 上述研究除针对系统的不

确定因素外, 均没有考虑其他限制条件. 而在实际系统的输入、输出环节中, 往往会存在两

类不容忽视的问题: 输入约束和输出噪声.

输入约束通常是由执行机构的物理和结构限制所致, 以位置饱和最为常见, 如不及时

采取措施加以拟制, 可能会导致系统动态性能变差甚至不稳定. 对此, 主要有两种处理策略:

1)直接对执行机构的饱和特性进行设计, 利用光滑函数近似饱和函数, 然后将逼近误差作为

系统扰动, 对新系统设计鲁棒自适应控制器

[14-15]

; 2)在忽略执行机构约束的情况下, 预先设

计满足要求的控制器, 然后在控制器中引入辅助信号对输入饱和进行补偿

[16-18]

. 策略 1)虽然

具有较好的抗饱和效果, 但需要依赖约束的具体信息, 且控制器设计复杂, 实时性较差; 相

比之下, 策略 2)能够极大地简化控制器的设计, 计算灵活高效, 且不影响约束范围内的系统

性能, 因而广泛应用于工业实际中.

另外, 在量测输出时不可避免地还会引入高频噪声, 而噪声对于 LADRC 性能的影响

是十分显著的. 这是因为, LADRC 的核心技术是线性扩张状态观测器(Linear extended state

observe, LESO), 增大观测器增益可提高其跟踪性能, 但同时也会放大高频噪声, 进而引起

系统控制量的大幅度高频振颤, 这对于执行机构而言是不可承受的. 为解决观测器性能与其

对噪声敏感性的矛盾, 国内外学者提出了多种不同方案. 文献[19]设计了一种增益可切换观

测器, 即采用大增益重构系统状态, 当观测误差减小到一定值后切换为小增益, 以减小高频

噪声的影响. 文献[20]和文献[21]则分别通过在高增益观测器中引入随机逼近策略和快速滤

波器来处理量测噪声, 从而最大限度地保持了观测器的原本特性. 而文献[22-23]直接设计了

一种增益在线调整的自适应观测器来解决该问题, 虽然较前两种方案有更好的噪声拟制效

果, 但观测器设计复杂, 工程实现难度大. 对此, 工程上往往采用简单的滤波器处理方式,

但这会造成滤波后输出信号的幅值和相位损失.

针对上述现状和问题, 本文在文献[13]的基础上, 继续研究了具有输入受限和输出噪声

的不确定系统的 LADRC 方法. 首先, 定量分析了 LESO 对噪声的放大机理, 明确了噪声对

LADRC 系统的影响; 在此基础上, 改进了具有工程实用性的滤波器噪声处理方式, 提出了

一种基于滤波器的级联 LADRC 方法, 可实现对滤波后输出幅值和相位损失的有效补偿; 最

后, 基于策略 2)给出的饱和处理方案, 进一步提出了一种基于滤波器的抗饱和级联 LADRC

方法, 使有效滤波的同时解决了系统输入饱和的问题.

1. 问题描述及预备知识

1.1 系统描述

考虑如下的 SISO (Single input single output)不确定非线性系统:

$$\left\{ {\begin{aligned} &{{x^{\left( n \right)}} = f\left( {{x^{\left( {n - 1} \right)}}, \cdots ,\dot x,x,t} \right) + w + bu\left( \upsilon \right)}\\ &{y =

x + {v_{\rm{fn}}}} \end{aligned}} \right.$$

(1)

其中, $x$为系统状态变量; $y$为具有高频噪声${v_{\rm{fn}}}$的系统量测输

出; $f\left( \cdot \right)$为系统不确定的内部动态; $w$为外部干扰; $b$为时变不确定的控制

增益, 满足${b_1} < b < {b_2},\;{b_1},\;{b_2}$为常数; $\upsilon$为执行器输

入, $u\left( \upsilon \right)$为受饱和特性影响的执行器输出, 其数学模型为

$$u\left( \upsilon \right) = {\rm{sat}}\left( \upsilon \right) = \left\{ {\begin{aligned} &u_{\max },&\upsilon > {u_{\max }}\quad\qquad\\

&\upsilon ,&{u_{\min }} \le \upsilon \le {u_{\max }}\\ &u_{\min },&\upsilon < {u_{\min }}\, \quad\qquad\end{aligned}} \right.$$

(2)

其中, ${u_{\max }} > 0,{u_{\min }} < 0$为已知的饱和界限值.

取常数${b_0} \in \left( {{b_1},{b_2}} \right)$, 而将$\left( {b - {b_0}}

\right)u\left( \upsilon \right)$作为未知的控制扰动, 并将系统所有的不确定性当作总扰动

$g\left( \cdot \right) = f\left( \cdot \right) + w + \left( {b - {b_0}} \right)u\left( \upsilon \right),$取

状态变量${x_1} = $$ x,{x_2} = \dot x, \cdots ,{x_n} = {x^{\left( {n - 1} \right)}},$然后将总扰

动扩充为新的状态变量${x_{n + 1}} = g\left( \cdot \right),$并记${\dot x_{n + 1}} = h,$令

${{\boldsymbol{x}}} = \big[ {{x_1}}\;$${{x_2}}\;\; \cdots \;\;{{x_{n + 1}}}

\big]^{\rm{T}},$可得系统(1)的扩张状态空间方程

$$\left\{ {\begin{aligned} &{\dot {{\boldsymbol{x}}} = A{{\boldsymbol{x}}} + {{\boldsymbol{b}}}u\left( \upsilon \right) +

{{\boldsymbol{c}}}h}\\ &{y = {{\boldsymbol{d}}}{{\boldsymbol{x}}} + {v_{\rm{fn}}}} \end{aligned}} \right.$$

(3)

其中, $A = \left[ {\begin{aligned} &0\quad 1\quad 0\quad \cdots \quad 0\\ &0\quad 0\quad

1\quad \cdots \quad 0\\ & \vdots\quad \; \vdots \quad\; \vdots \quad\; \ddots \quad\; \vdots \\

&0\quad 0\quad 0\quad \cdots \quad 1\\ &0\quad 0\quad 0\quad \cdots \quad 0 \end{aligned}}

\right] \in {{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right) \times \left( {n + 1} \right)}},{{\boldsymbol{b}}} =

$$\big[ 0\quad \cdots \quad 0\quad{{b_0}}\quad 0 \big]^{\rm{T}},{{\boldsymbol{c}}} =

{\big[ 0\quad \cdots \quad 0\quad 1 \big]^{\rm{T}}},{{\boldsymbol{d}}} = \big[ 1\;\; 0\quad

$$\cdots\quad 0 \big],$且${{\boldsymbol{b}}},{{\boldsymbol{c}}},{{\boldsymbol{d}}} \in

{{{\bf{R}}}^{n + 1}}.$

为便于分析, 对系统(3)作如下假设:

假设 1. 量测噪声有界且满足 $\left| {{v_{\rm{fn}}}} \right| \le \mu,$ 常数$\mu > 0.$

假设 2. 存在常数$M > 0,$使得$\left| h \right| \le M$在区间$\left[ {0,\infty } \right)$上一

致成立.

注 1. 由于$h = \dot g\left( \cdot \right)$不仅是时间$t$的函数, 还是

${{\boldsymbol{x}}}$和$u$的函数, 因而直接设定$\left| h \right| \le M$这一条件很难得到预

先检验; 而根据此前研究可知

[13]

, 若放宽对系统总扰动的假设, 可得到$\left| h \right|$为关于

系统估计和跟踪误差的函数, 但这会增加系统分析的复杂性. 实际上, 直接假设$h$有界并

不影响对系统控制性能的分析, 只是会改变分析过程中的一些常系数值.

1.2 线性自抗扰控制

对于系统(1), 当不考虑输入约束和输出噪声时, 可设计如下的 LADRC 控制器

[13]

: 它

由线性跟踪微分器(Linear tracking differentiator, LTD)、线性扩张状态观测器和线性状态误

差反馈(Linear state error feedback, LSEF)三部分组成.

1.2.1 线性跟踪微分器

LTD 在 LADRC 中相对独立, 其作用在于跟踪给定的输入信号${v_0}$并得到输入的

各阶微分信号$v_0^{\left( i \right)},$ 即有${v_1} \to {v_0},{v_{i + 1}} \to v_0^{\left( i

\right)},\;i = 1,2, \cdots ,n.$ 令${\boldsymbol{v}}=[v_1$${\quad{{v_2}}\quad \cdots \quad

{{v_{n + 1}}}]^{\rm{T}}},$ 可将 LTD 表示为

$$\dot {{\boldsymbol{v}}} = {A_{{\rm{TD}}}}{{\boldsymbol{v}}} + {{{\boldsymbol{b}}}_{{\rm{TD}}}}{v_0}$$

(4)

其中, ${A_{{\rm{TD}}}} = \left[\; {\begin{aligned} &\quad 0\qquad\;\; 1\qquad\;\;

0\qquad \cdots \qquad\;\; 0\\ &\quad 0\qquad\;\; 0\qquad\;\; 1\qquad \cdots \qquad\;\; 0\\ &\quad\;

\vdots \qquad\;\; \vdots \qquad\;\; \vdots \qquad\;\; \ddots \qquad\;\; \vdots \\ & \quad 0\qquad\;\;

0\qquad\;\; 0\qquad\;\; \cdots \qquad 1\\ & {{a_1}{R^{n + 1}}}\;\;{{a_2}{R^n}}\;\; {{a_3}{R^{n

- 1}}}\;\; \cdots \;\; {{a_{n + 1}}R} \end{aligned}} \right] \in $${{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1}

\right) \times \left( {n + 1} \right)}},{{{\boldsymbol{b}}}_{{\rm{TD}}}} = {\big[ 0\quad \cdots

\quad 0\quad { - {a_1}{R^{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}} \in{{{\bf{R}}}^{n + 1}}, $$R$为决定跟

踪快慢的调节增益, 系数 ${a_j}\;( j = 1,$$2, \cdots ,n + 1 )$需满足矩阵$\bar A$是 Hurwitz

的, $ \bar A =$$ \left[ {\begin{aligned} &0\quad\;\; 1\quad\;\; 0\quad\;\; \cdots \quad\;\; 0\\

&0\quad\;\; 0\quad\;\; 1\quad\;\; \cdots \quad\;\; 0\\ &\;\vdots \quad\;\; \vdots \qquad

\vdots\quad\;\; \ddots \quad\;\; \; \vdots \\ &0\quad\;\; 0\quad\;\; 0\quad\;\; \cdots\quad\;\; 1\\

&{{a_1}}\quad {{a_2}}\quad {{a_3}}\quad \cdots \quad {{a_{n + 1}}} \end{aligned}} \right]

\in {{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right) \times \left( {n + 1} \right)}}$.

1.2.2 线性扩张状态观测器

LADRC 的模型不依赖性和鲁棒性正是基于 LESO 对系统总扰动的实时估计, 因而

LESO 是 LADRC 的核心技术. 令${{\boldsymbol{z}}} =

{\big[{ {z_1}}\quad{ {z_2}}\quad\cdots\quad { {z_{n + 1}}}\big]^{\rm{T}}}$为系统状态

${{\boldsymbol{x}}}$的估计, 利用实时的输入$u$、输出$y$可构造如下的 LESO:

$$\left\{ {\begin{aligned} &{\dot {{\boldsymbol{z}}} = A{{\boldsymbol{z}}} + {{\boldsymbol{b}}}u + Q{{\boldsymbol{k}}}\left( {\hat y - y}

\right)}\\ &{\hat y = {{\boldsymbol{d}}}{{\boldsymbol{z}}}} \end{aligned}} \right.$$

(5)

其中, $Q = {\rm{diag}}\big\{ {{1 / r}}\quad{{1 / {{r^2}}}}\quad \cdots \quad{{1 / {{r^{n

+ 1}}}}}\big\},$$r$为调节参数(相当于 LESO 增益的倒数), $ {{\boldsymbol{k}}} = \big[{ -

{k_1}}\quad{ - {k_2}}\quad$$\cdots \quad{ - {k_{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}$, 系数

${k_j}\left( {j = 1,2,\cdots,} \right.$$\left. {n + 1} \right)$需满足矩阵$\bar K$是 Hurwitz

的, $\bar K = \left[ {\begin{aligned} &{ - {k_1}}\quad\; 1\quad 0\quad \cdots \quad 0\\ &{ -

{k_2}}\quad\; 0\quad 1\quad \cdots\quad 0\\ &\;\;\;\vdots \quad\;\;\; \vdots \quad\;\; \vdots \quad\;

\ddots \quad \vdots \\ &{ - {k_n}}\quad\; 0\quad 0\quad \cdots \quad 1\\ &{ - {k_{n + 1}}}\;

0\quad 0\quad \cdots \quad 0 \end{aligned}} \right] \in $$ {{{\bf{R}}}^{\left( {n + 1} \right)

\times \left( {n + 1} \right)}}.$

1.2.3 线性状态误差反馈

定义系统的状态误差${e_1} = {z_1} - {v_1},{e_2} = {z_2} - $${v_2}, \cdots ,{e_n} =

{z_n} - {v_n},$ 并考虑对总扰动${x_{n + 1}}$的实时补偿, 令${{\boldsymbol{e}}} =

{\big[{ {e_1}}\quad{ {e_2}}\quad \cdots\quad { {e_n}} \big]^{\rm{T}}},$ 可设计如下的

LSEF:

$$u = \frac{ {{{\boldsymbol{l}}}{{\boldsymbol{e}}} + {v_{n + 1}} - {z_{n + 1}}} } {{b_0}}$$

(6)

其中, ${{\boldsymbol{l}}} = \big[ {{l_1}}\quad{{l_2}}\quad \cdots\quad{{l_n}} \big],$系

数${l_i}\,\left( {i = 1,2,} \right.$$\left. \cdots,n \right)$需满足矩阵 $\bar L =

\left[ {\begin{aligned} &0\quad\; 1\quad\; 0\quad\; \cdots \quad\; 0\\&0\quad\; 0\quad\; 1\quad\;

\cdots \quad\; 0\\ &\; \vdots \quad\; \vdots \quad\;\; \vdots \quad\;\; \ddots\quad\; \vdots \\

&0\quad\; 0\quad\; 0\quad\; \cdots \quad\; 1\\ &{{l_1}}\quad {{l_2}}\quad{{l_3}}\quad \cdots

\quad{{l_n}} \end{aligned}} \right] \in {{{\bf{R}}}^{n \times n}}$是 Hurwitz 的.

2. 高频量测噪声对 LESO 的影响

2.1 理论分析

首先, 忽略输入饱和的影响. 定义 LESO 估计误差${{\boldsymbol{\varepsilon}}} =

{{\boldsymbol{x}}} - {{\boldsymbol{z}}},$其中, ${{\boldsymbol{\varepsilon}}} =

{\big[ {{\varepsilon _1}}\quad{{\varepsilon _2}}\quad \cdots \quad{{\varepsilon _{n + 1}}}

\big]^{\rm{T}}},$对其沿式(3)和式(5)求导, 可得

$$\dot {{\boldsymbol{\varepsilon}}} = \left( {A + Q{{\boldsymbol{k}}}{{\boldsymbol{d}}}} \right){{\boldsymbol{\varepsilon}}} +

{{\boldsymbol{c}}}h + Q{{\boldsymbol{k}}}{v_{\rm{fn}}}$$

(7)

取误差变换矩阵$\bar Q = {\rm{diag}}\big\{ {{1 / {{r^n}}}}\quad{{1 / {{r^{n -

1}}}}}\quad \cdots \big.$$\big. {{1 / {{r^0}}}} \big\},$令${{\boldsymbol{\xi}}} = \bar

Q{{\boldsymbol{\varepsilon}}},$ 其中, ${{\boldsymbol{\xi}}} = {\big[ {{\xi _1}}\quad{{\xi

_2}}\quad \cdots \quad{{\xi _{n + 1}}} \big]^{\rm{T}}},$对其求导可将式(7)变换为

$$\dot {{\boldsymbol{\xi}}} = \frac{1}{r}\bar K{{\boldsymbol{\xi}}} + {{\boldsymbol{c}}}h + \frac{1}{{{r^{n +

1}}}}{{\boldsymbol{k}}}{v_{\rm{fn}}}$$

(8)

定理 1. 对于满足假设 1 和假设 2 的不确定系统(1), 设计 LESO(5), 则对任意的$t \in

\left( {{t_0},\infty } \right),$存在依赖于${t_0}$的常数$T > 0$和独立常数$B > 0,$使得对任意

的$r \in \left( {0,1} \right),$满足

$$ \left\| {{\boldsymbol{\varepsilon}}} \right\| \le Tr + {\frac{B\mu } {{r^n}}} $$

且当$r = {\left( {{{nB\mu } / T}} \right)^{{1 / {\left( {n + 1} \right)}}}}$时, 有

$$ \sup \left\| {{\boldsymbol{\varepsilon}}} \right\| = \left( \frac{ {n + 1}} { n} \right){T^{\tfrac{n } { {n + 1} }}}\left( {nB\mu } \right)^{\tfrac{1 }{ {n +

1}}} $$

注 2. 若无特别说明, 文中$\left\| \cdot \right\|$指 Euclid 范数.

证明. 取 Lyapunov 函数$V:{{{\bf{R}}}^{n + 1}} \to {{\bf{R}}}$为

$$V( {{{{\boldsymbol{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) = {{{\boldsymbol{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{\boldsymbol{\xi}}}$$

(9)

其中, 矩阵$P > 0$是 Lyapunov 方程$P\bar K + {\bar K^{\rm{T}}}P = $$ - {I_{n +

1}}$的解, ${I_{n + 1}}$为${n + 1}$维单位矩阵.

对式(9)沿式(8)求关于时间$t$的导数, 可得

$$\begin{split} \dot V( {{{{\boldsymbol{\xi}}} ^{\rm{T}}}} ) =\; &{\frac{1}{r}}{{{\boldsymbol{\xi}}} ^{\rm{T}}}( {{{\bar K}^{\rm{T}}}P +

P\bar K} ){{\boldsymbol{\xi}}} + ( {{{{\boldsymbol{c}}}^{\rm{T}}}P{{\boldsymbol{\xi}}} + {{{\boldsymbol{\xi}}}

^{\rm{T}}}P{{\boldsymbol{c}}}} )h\;+ \\ &{\frac{1}{{{r^{n + 1}}}}}( {{{{\boldsymbol{k}}}^{\rm{T}}}P{{\boldsymbol{\xi}}} +

{{{\boldsymbol{\xi}}} ^{\rm{T}}}P{{\boldsymbol{k}}}} ){v_{\rm{fn}}} \le \\ &{- \frac{1}{r}}{\| {{\boldsymbol{\xi}}} \|^2} + |