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基于交错方向乘子法的并行GPS信号捕获算法.docx
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基于交错方向乘子法的并行GPS信号捕获算法.docx
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以 GPS 为代表的卫星导航系统可提供高精度全天候的导航定位和授时信息,被广泛
应用于国防建设和国民经济的众多领域
[1]
。近年来,随着 GPS 在移动和便携智能终端中普
及,人们对其接收模块的功耗和成本提出了更高要求。在 GPS 信号处理过程中,捕获部分
处理数据量大、消耗资源多,是影响接收模块功耗和成本的重要因素
[2-3]
。因此,减少捕获
部分的数据量和运算量是进一步降低 GPS 接收模块功耗和成本的有效途径,但这具有相当
的难度。由于采用了基于 C/A 码的直接序列扩频技术来保证远距离传输的抗干扰能力,
GPS 信号带宽相对较宽,导致接收端采样率较高(十几兆赫兹至几十兆赫兹)。对看重低功
耗和低成本的便携式导航应用而言,高采样率为数据存储和处理带来了巨大负担。另一方
面,大多数传统 GPS 信号捕获算法都基于循环相关运算,通过遍历所有可能的多普勒频率
和码相位来完成信号粗同步,这也不可避免地导致了捕获过程的大运算量。
为降低捕获过程的数据量和运算量,人们进行了一系列研究。在基于时域相关的捕获
算法方面,通用策略是在数据压缩的基础上尽量合并相同的运算。例如,考虑到半码片的
捕获精度已经能够满足跟踪处理的入锁条件,很多算法都在相关运算之前按半码片精度对
数据进行“打包”,以降低捕获过程的数据量。在此基础上,文献[4]通过数据重排处理,使
得合并某些乘法运算成为可能,提高了相关运算的效率。文献[5]提出了先叠加再相关的方
法,减少了相关运算的次数。文献[6]提出了基于两级捕获策略的 XFAST 算法,第一级对
长扩频码分段折叠进行粗捕,然后第二级确认具体的码相位。文献[7]提出了基于局部积分
的并行捕获算法,节省了运算资源。在频域捕获算法方面,基本考虑是将循环相关等效为
卷积运算,然后利用 FFT 快速算法降低运算量
[8-9]
。针对某些长扩频码系统,研究人员进一
步利用匹配滤波器降低捕获过程的运算量
[10]
。在数据压缩方面,研究人员利用基于平均相
关处理的数据压缩技术
[11-13]
和由此改进而来的基于向上取整的压缩采样与冗余抗噪技术
[14]
,提出了高效的频域捕获算法。文献[15]利用 Walsh 序列和 Gold 序列的映射关系,提出
了基于 Walsh 变换的快速捕获算法。总体而言,上述算法都不同程度地降低了数据量和运
算量,提高了捕获效率。但是,这些算法在进行数据压缩时,都无法突破半码片捕获精度
的限制,即对于码长 1 023 的 C/A 码,要实现半码片捕获精度至少需要 2 046 个数据包。
受此限制的影响,上述算法在运算量方面的改进也存在局限。
压缩感知理论为进一步降低捕获所需的数据量提供了新思路。区别于传统数据压缩方
法,在压缩感知理论中数据量不取决于信号带宽或长度,而取决于信息在信号中的结构
[16-
17]
。这使得突破半码片捕获精度对数据量的限制成为可能。事实上,压缩感知已经在图像
处理、智能天线、认知无线电、超宽带系统等领域受到关注,但其在卫星导航中的研究还
较少。在文献[18]中,压缩感知被用来解决 GPS/SINS 组合导航中的融合滤波问题。该方法
为压缩感知在导航系统中的应用提供了思路,但主要针对后续组合导航中 Kalman 融合滤
波的误差均方矩阵计算而言,没有涉及导航信号本身的处理。文献[19]首次将压缩感知理
论用于导航信号捕获,并提出了基于正交匹配追踪法的捕获算法,文献[20]完成了该算法
的具体实现工作。正交匹配追踪法本质上是一种贪婪算法,运算量较大且难以并行实现。
文献[21-22]利用 Walsh-Hadamard 矩阵构造压缩测量矩阵,提出了双阶段 GPS 信号压缩感
知捕获算法。该算法具有和传统相关捕获算法相同的性能,但要求压缩测量矩阵具有特殊
的结构。另外,由于需要进行双阶段的压缩感知,该算法捕获过程略显复杂。文献[23]则
提出了基于稀疏傅里叶变换(sparse Fourier transform, SFT)的捕获算法,它针对相关峰的稀
疏特性,将 SFT 技术引入频域并行捕获中,简化基于 FFT 的传统频域码相位搜索算法。该
算法运算量很低,效率非常高,但捕获性能损失较大。
基于上述考虑,本文不再采用循环相关的捕获方法,而是通过分析 GPS 信号的稀疏
性,利用正交的 C/A 码构成基矩阵,以 C/A 码相位为稀疏系数,对 GPS 信号进行近似稀
疏表示,并在此基础上建立 GPS 信号捕获的压缩感知模型。其次,将 GPS 压缩感知捕获
问题纳入 ADMM 的框架
[24]
,提出一种高效的并行捕获算法。和现有 GPS 信号压缩感知捕
获算法相比,该算法将压缩感知问题分解成多个相对独立的子问题并行迭代求解,并且迭
代的每一步都有简单闭合解,因而具有很低的运算量,能够高效地完成信号捕获的任务。
1. GPS 信号稀疏表示
GPS 信号的 C/A 码是码率为 1.023 Mbps 的 Gold 码,码长 N=1 023。不同卫星的 C/A
码相互正交,同一卫星的 C/A 码及其循环移位序列也相互正交。因此,C/A 码及其循环移
位序列可以构成一个正交矩阵。将该正交矩阵作为变换基,就可以对 GPS 信号进行稀疏表
示。
假设 g
0
=[g(0), g(1), ···, g(N−1)]
T
∈R
N×1
为任意满足上述条件的 Gold 码,将 g
0
循环移位
m 个码片后,得到序列 g
m
=[g(m), g(m+1), ···, g(N−1), g(0), g(1), ···, g(m−1)]
T
∈R
N×1
,m=0, 1,
2, ···, N−1, 则 g
m
可以表示为:
gm=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢g(0)g(1)⋮g(N−1)g(1)g(2)⋮g(0)⋯⋯⋯g(N−1)g(0)⋮g(N−2)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢γ(0)γ(1)⋮γ(N−1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=Gγmgm=[g(0)g(1)⋯g(N−1)g(1)g(2)⋯g(0)⋮⋮⋮g(N−1)g(0)⋯g(N−2)][γ(0)γ(1)⋮γ(N−1)]=Gγm
(1)
式中,G=[g
0
, g
1
, ···, g
N−1
]∈R
N×N
是由 Gold 码及其循环移位序列构成的正交变换基矩
阵;γ
m
=[γ (0), γ (1), ···, γ (N−1)]
T
∈R
N×1
是变换系数向量。显然,在 γ
m
中,除了 γ (m)=1 外,
其余系数都为 0,即 γ
m
是稀疏向量。因此,GPS 中任意相位的 Gold 码序列都可以用式(1)
进行稀疏表示。
据此可对捕获过程中的 GPS 信号进行稀疏表示。捕获的实质是进行多普勒频率和 C/A
码相位二维搜索,根据相关峰位置获得频率和相位估计值。在对某颗 GPS 卫星的采样信号
进行载波(多普勒)剥离和半码片数据打包等处理后,一个 C/A 码周期的信号可以表示为:
r(n;ω^d)=adc(n;ωd)exp[j((ω^d−ωd)n+ϕ)]+v(n)=βc(n;ωd)exp(jΔωdn)+v(n)n=0,2,⋯,2N−1r(n;ω^d)=adc(n;ωd)exp[j((ω^d−ωd)n+ϕ)]+v(n)=βc(n;ωd)exp(jΔωdn)+v(n)n=0,2,⋯,2N−1
(2)
式中,由于进行半码片打包,一个 C/A 码周期的序列长度为 2N=2 046;ω
d
是 GPS 信
号的多普勒频率;ω^dω^d 是多普勒频率估计值;Δω
d
=ω^dω^d−ω
d
是多普勒估计误差;
a、d 和 ϕ 分别表示 GPS 信号的幅度、导航电文和载波初相,考虑到导航电文码率较低、
信号幅度变化缓慢,这里假设它们在捕获处理的时间段内恒定,表示为 β=adexp(jϕ);v(n)
是噪声项;c(n; ω
d
)表示多普勒为 ω
d
时的 C/A 码序列的半码片打包数据。
当多普勒估计准确时,有 ω^d=ωdω^d=ωd 和 Δω
d
=0,式(2)表示为:
r(n;ωd)=βc(n;ωd)+v(n)≈βc(n;0)+v(n)r(n;ωd)=βc(n;ωd)+v(n)≈βc(n;0)+v(n)
(3)
式中的近似处理考虑如下:在非高动态应用中,多普勒频率的范围通常为[−5, 5]
KHz,折算到 C/A 码上约为[−3.24, 3.24] Hz。相对于 1.023 M 的 C/A 码码率而言,这个多
普勒频率在 1 ms 内的影响可以忽略不计
[2]
。因此,式中有 c(n; ω
d
)≈c(n; 0)。
定义 c
0
=[c(0; 0), c(1; 0), ···, c(2N−1; 0)]
T
∈C
2N×1
。根据上面的分析,c
0
及其循环移位序
列之间仍可以看作是近似正交的。令 c
m
为 c
0
循环移位 m 个数据后的序列,即 c
m
=[c(m;
0), c(m+1; 0), ···, c(2N−1; 0), c(0; 0), c(1; 0), ···, c(m−1; 0)]
T
∈R
2N×1
,m=0, 1, 2, ···, 2N−1。因
此,在正确剥离载波和多普勒后,从任意码相位开始的一个 C/A 码周期的信号都可以构成
一个向量,即 r(ω
d
)=[r(0; ω
d
), r(1; ω
d
), ···, r(2N−1; ω
d
)]
T
∈C
2N×1
,它可以写成如下形式:
r(ωd)=β[c0,c1,⋯,c2N−1]⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢p(0;ωd)p(1;ωd)⋮p(2N−1;ωd)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥+⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢v(0)v(1)⋮v(2N−1)⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=Cp(ωd)+vr(ωd)=β[c0,c1,⋯,c2N−1][p(0;ωd)p(1;ωd)⋮p(2N−1;ωd)]+[v(0)v(1)⋮v(2N−1)]=Cp(ωd)+v
(4)
式中,C=[c
0
, c
1
, ···, c
2N−1
]∈C
2N×2N
为变换基矩阵;
p(ω
d
)=β[p(0; ω
d
), p(1; ω
d
), ···, p(2N−1; ω
d
)]
T
∈C
2N×1
为多普勒估计准确时的码相位向量;
v=[v(0), v(1), ···, v(2N−1)]
T
∈C
2N×1
为噪声向量。
显然,如果多普勒频率被成功剥离,则 p(ω
d
)是一个稀疏向量,仅有少数较大的非零
值,其峰值出现的地方为 C/A 码相位估计值。与之相对,如果多普勒估计值存在误差,即
ω^d≠ωdω^d≠ωd,则 r(ω^d)r(ω^d)中仍残留有多普勒分量,p(ω^d)p(ω^d)的稀疏性就会受
到影响。
2. 压缩感知捕获模型
基于式(1)中 GPS 信号的稀疏表示,可利用压缩感知理论
[16-17]
完成对稀疏向量 p(ω
d
)的
估计,从而取代传统捕获算法中的循环相关运算。
使用和变换基矩阵 C 不相关的观测矩阵 Ω∈C
M×2N
,M<<2N,对 r(ω
d
)进行压缩采样,
得到观测序列:
y(ωd)=Ωr(ωd)=Ω[Cp(ωd)+v]=Θp(ωd)+uy(ωd)=Ωr(ωd)=Ω[Cp(ωd)+v]=Θp(ωd)+u
(5)
式中,Θ=ΩCΘ=ΩC∈C
M×2N
;u=Ωv。实际应用中,观测矩阵 Ω 的选择很多,常用的有
随机高斯矩阵、贝努利矩阵、随机傅立叶矩阵等。
由于多普勒估计准确时,p(ω
d
)为稀疏向量,可以通过求解如下优化问题:
(P1)minp(ωd)||p(ωd)||0s.t.y(ωd)=Θp(ωd)(P1)minp(ωd)||p(ωd)||0s.t.y(ωd)=Θp(ωd)
(6)
获得 p(ω
d
)的估计值。
基于上述模型,本文提出了基于压缩感知的 GPS 信号捕获算法,其核心步骤为:
1)初始化捕获参数,获得随机观测矩阵 Ω、基矩阵 C 和混合矩阵 Θ=ΩC;
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