多层复杂网络上的渗流与级联失效动力学.docx
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2022-12-15
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复杂网络理论描述了真实世界事物之间的普遍联系，而多层网络则描述了复杂网络或
复杂系统之间的联系。多层网络在现实世界中有着广泛的应用
[1-2]
，如因特网和电力网络之
间因互相依赖而组成的多层网络
[3-4]
；一个生物细胞可以看成是代谢网络，蛋白质相互作用
网络和基因转录网络的相互依赖而形成的多层网络
[5]
。这些联系在保证每个复杂系统正常
运行的同时，也给其带来了系统性风险，如重大停电事故与大范围的通信中断
[3,6]
、严重的
交通瘫痪
[7-8]
等。负责电力传输与分配的电力网络依赖于信息传输网络提供监控和调度等方
面的支持，同时，信息传输网络也依赖于电力网络提供电力保障
[3,9]
。类似地，电力网络和
铁路网络也存在着双向的依赖关系，电力网络的故障会影响铁路交通的正常运转，而铁路
的非正常运转又会影响发电站燃料和物资的供应。因此，研究复杂系统的鲁棒性，需要考
虑它们之间的相互依赖性，并基于这种依赖性对复杂系统进行分析和建模，以了解这种相
互依赖性导致系统大规模瘫痪的发生机理，从而为减少和干预级联失效提供预防、应急和
控制措施
[2]
。
除了相互依赖的关系之外，多层网络还可以描述复杂系统之间其他性质的耦合或联
系，如协作
[10]
、竞争
[11-12]
和对抗
[13]
等。人们将网络层间存在依赖关系的多层网络称为相依
网络，或网络的网络
[14-16]
。另外，多层网络还可以表示同一组节点具有不同性质连接的网
络。在这样的多层网络中，每种类型的连接都可独自形成一个网络，但是它们共享同一个
节点集合。如航空网络可被视作一个多层网络，每个机场为一个节点，不同航空公司的航
线为不同类型的连接
[17]
。当然在多层网络中并不一定每个节点都能够出现在所有的网络层
中，但每层网络中出现的节点都是系统节点的子集。如某些航空公司在某些机场并不一定
有运营的航班，但是其包含的节点一定是航空网络中所有节点(机场)的子集。类似地，多
层网络中的同一节点可在不同网络层中扮演不同角色，如在交通网络中，一个城市可能同
时是航空网络、铁路网络和公路网络的交通枢纽
[18]
。在这种情况下，同一个节点的不同角
色互为副本节点，类似的情况还存在于社交网络中
[19-21]
。
文献[3]于 2010 年提出了双层相依网络上的渗流模型，用于研究网络之间的相互依赖
性对于级联故障和网络鲁棒性的影响。在相依网络中，一旦某个节点被删除或者失效，与
其互相依赖的其他网络中的节点就会完全失效。这是一种非常强的依赖关系，在这种情况
下，相依网络和共享同一节点集的多层网络等价。研究发现，双层相依网络上的渗流模型
为一阶不连续相变，这与单层网络上的二阶连续相变有着本质的不同。该结论证明了网络
的相互依赖性不但极大地降低了网络鲁棒性，而且影响了网络的破碎方式。更令人惊讶的
是，当相依网络的度分布的异质性增强时，相依网络对随机故障的脆弱性也会增强，如两
个具有幂律度分布的相依无标度网络会比两个相依随机网络在随机攻击下更加脆弱，这与
单个网络的情况完全相反(单个无标度网络对于随机攻击的鲁棒性是非常高的)。从统计物
理学的角度来看，多层相依网络上的一阶不连续相变本质上为混合相变(hybrid
percolation)，即在网络发生渗流相变的临界点，网络巨分支规模既存在二阶连续相变所具
备的临界现象，也存在一阶相变的不连续跳跃现象。系统的序参量(互联巨分支规模 S)与节
点的保留概率 p 存在渐近关系 S−Sc∝S−Sc∝(p−pc)1/2(p−pc)1/2，其中 pcpc 为网络发生渗
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