不等式约束PEIV模型的最优性条件及SQP算法.docx
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2022-11-30
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在大地测量坐标转换
[1-2]
、曲线曲面拟合
[3]
、变形监测
[4-5]
和摄影测量
[6]
等领域，变量含
误差(errors-in-variables，EIV)模型及相应的加权整体最小二乘理论(weighted total least
squares, WTLS)由于能考虑设计阵的随机特性，成为数十年来的研究热点。EIV 模型的常
用算法有奇异值分解类算法、拉格朗日乘子迭代法、线性近似方法
[7-10]
。Xu 等
[11]
将 EIV 模
型扩展成部分 EIV(partial EIV, PEIV)模型，它能反映系数矩阵的结构，当随机量较少时，
待估参数也随之减少，推导了 PEIV 模型的算法和近似方差。Shi 等
[12]
给出了 PEIV 模型解
的经典最小二乘形式，并分析了算法的复杂度。将测量实际中的可靠不等式约束纳入 PEIV
模型，就形成了不等式约束的 PEIV(inequality constrained PEIV, ICPEIV)模型及不等式约
束整体最小二乘(inequality constrained WTLS, ICWTLS)理论
[13-14]
。De Moor
[15]
给出了不等
式约束 TLS 问题的 KKT(Karush-Kuhn-Tucker)条件，转化为广义线性补(linear
complementary programming, LCP)问题, 采用组合方法求解，但仅考虑了非负约束与有
界约束情形。Zhang 等
[16]
采用穷举搜索法，计算 3 所有等式约束 EIV 模型的解，选单位权
方差最小的解作为最终解，其计算量随约束数的增加呈指数级增长。以上研究均未考虑不
等权和相关观测。Fang
[17]
提出了一般权阵下的 ICWTLS 问题, 推导了最优解的一阶必要条
件和二阶充分条件，采用有效集(active set, AS)法和序列二次规划算法(sequential
quadratic programming, SQP)求 ICWTLS 解。Zeng 等
[14]
和 De Moor
[15]
首先采用惩罚函数
法求解 ICPEIV 模型，然后研究了不等式约束同时包含模型参数和系数阵元素的情况，采
用线性近似方法，将 ICWTLS 问题化为不等式约束最小二乘(inequality constrained least
squares, ICLS)模型，采用 LCP 方法求解，并分析了解的近似精度。
目前针对 ICPEIV 模型的研究，尚未给出其获得最优解的条件，已有线性化方法的计
算效率有待提高。针对上述问题，本文研究了 ICPEIV 模型获得最优解的条件，提出了
ICPEIV 模型的 SQP 算法，并与线性化方法的计算效率对比分析，验证了算法的有效性和
可行性。
1. ICPEIV 模型的最优性条件
ICPEIV 模型可以表示成
[13]
：
y=(βT⊗In)(h+Ba¯)+eyy=(βT⊗In)(h+Ba¯)+ey
(1a)
a=a¯+eaa=a¯+ea
(1b)
Gβ−d≥0Gβ−d≥0
(1c)
式中，yy 和 eyey 分别为 nn 维观测向量和误差; ββ 为 mm 维模型参数; aa 是系数矩
阵中随机元素所构成的 tt 维列向量; a¯a¯和 eaea 分别是相应的真值和误差向量; 将系数矩
阵中的非随机元素保留，将随机元素以 0 值替代后，组成的常数矩阵向量化，得到 nmnm
维常数向量 hh; BB 是 nm×tnm×t 维常数矩阵，其形式由系数矩阵中非随机元素的个数及
元素间的相关性决定; InIn 是 nn 维单位矩阵; GG 为 s×ms×m 维约束矩阵; dd 为常数向
量。相应的误差随机模型为：
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