在大地测量及地图投影的相关理论中,等距离纬度 ψψ、等角纬度 φφ 和等面积纬度
ϑϑ 一般以大地纬度 B 为自变量进行表达和运算
[1-4]
。然而,在地图投影、空间大地测量和
地球物理等领域的相关理论中,地心纬度也是常用辅助变量之一。例如,在椭球面日晷投
影
[5]
中,从椭球面上投影到球面上是基于地心纬度进行分析;在空间大地测量的理论问题
尤其是几何问题中,以地心纬度为自变量可以使问题得到简化;在卫星轨道、大地测高等
问题中,地心纬度也有着重要的作用。通常,在辅助纬度或辅助纬度函数相互变换时,用
到的方法主要为反解变换法和正解变换法
[6]
。
国内外地图投影研究者在正解变换法上进行了深入的研究并取得丰硕的成果
[7-17]
,不
仅解决了投影变换在不同椭球下的问题,而且推导了大地纬度表示的常用纬度之间以及常
用纬度函数之间的展开式
[11-12,16]
,给出了常用纬度之间差异极值的符号表达式
[13]
,并且得
到了以归化纬度、地心纬度为变量的子午线弧长的正反解展开式
[17]
。但在地图投影变换中
涉及到的以地心纬度为变量的辅助纬度变换方面的问题,相关研究十分匮乏。事实上,在
地图投影中常常会直接用到地心纬度进行计算。
鉴于此,本文以具有强大的符号运算功能的计算机代数系统 Mathematica 作为公式推
导的重要辅助手段,推导出以地心纬度为变量的常用纬度的正解展开式,并采用符号迭代
法推导其反解展开式,以基于偏心率 e 和第三扁率 n 的幂级数形式表示,给出了理论与精
度分析。
1. 正解表达式
1.1 等距离纬度的正解表达式
以椭球长半轴 aa 为 xx 轴,短半轴 bb 为 yy 轴,建立平面直角坐标系。则椭圆标准
方程为:
设 PP 为椭球面上任意一点,连接 OPOP,则 OP=ρOP=ρ 为 PP 点的向径,
∠POX=ϕ∠POX=ϕ 为 PP 点的地心纬度。过 PP 点作 yy 轴的垂线 PQPQ,则
PQ=rPQ=r 为纬线圈半径。将极坐标 x=ρcosϕx=ρcosϕ,y=ρsinϕy=ρsinϕ 代入式(1)
可得:
设椭球第一偏心率为 e,并记
Mϕ=ρ2(ϕ)+(ρ')2(ϕ)−−−−−−−−−−−−−√Mϕ=ρ2(ϕ)+(ρ')2(ϕ),结合极坐标中弧长微分公
式得
dX=ρ2(ϕ)+(ρ')2(ϕ)−−−−−−−−−−−−−√dϕ=MϕdϕdX=ρ2(ϕ)+(ρ')2(ϕ)dϕ=Mϕdϕ,则以
地心纬度为变量的 MϕMϕ 和纬线圈半径 rr 为:
Mϕ=a1-e21-(2-e2)e2cos2ϕ(1-e2cos2ϕ)3r=acosϕ1-e21-e2cos2ϕ ]]>