]
。
2.3 特征微分算子与格林函数的关系
根据 2.2 节的研究,厄尔密特微分算子 L 与其格林 函数 g(x,ξ) 的关系为
Lg(x,ξ)=δ(x-ξ),当 ξ=x 时,有
Lg(x,x)=1 (15)Lg(x,x)=1 (15)
而当 ξ≠x 时,δ(x-ξ)=0,式(15)关系不存在。将式(6)归一化特征函数 φ
i
(x)
(i=1,2,")的∫baϕi(x)ϕj(x)dx=δij∫abϕi(x)ϕj(x)dx=δij 形式表示成离散和形式,即
∑i=1∞ϕ2i(x)=1, ϕi(x)ϕj(x)=0, ∑i=1∞ϕi2(x)=1, ϕi(x)ϕj(x)=0,
ϕ2i(x)ϕ2j(x)=0, ϕ4i(x)=ϕ2i(x)ϕi2(x)ϕj2(x)=0, ϕi4(x)=ϕi2(x)
根据式(15),当 δ(x-ξ)在 ξ=x 时,得
L=1g(x,x)=∑i=1∞λiϕ2i(x) (16)L=1g(x,x)=∑i=1∞λiϕi2(x) (16)
式(16)就是厄尔密特微分算子 L 谱表示无穷维离散和的形式。
2.4 斯-刘问题
对于 2.1 节的斯-刘特征微分方程,需要加上边界条件进行研究,这种研究
称为斯-刘问题。对 2.1 节斯-刘特征微分方程中的函数 p(x)与 q(x)做如下假设。
设函数 p(x)与 q(x)及其导数在闭区间[a,b]上均连续,当 a<x≤b 时,p(x)>0,而
p(a)=0。边界条件就是限制变量 x 在闭区间[a,b]中变化,它自然就是在端点 a 和
b 规定的条件。
为了后面研究的需要,本文采用加权斯-刘微分方程的边值情况说明,如表
1
:中 ρ(x)=1 的情况即为通常的斯-刘微分方程,有调和微分方程、勒
让德微分方程及连带勒让德微分方程。
式(16)厄尔密特微分算子 L 谱表示没有考虑上述边界值情况的研究结果,因
此,不能将表 1 中闭区间研究的斯-刘问题 λ
n
与 φ
n
用于其具体实现。但式(16)的
L 谱表示在理论上是正确的,因此可以作为一类厄尔密特微分算子 L 的一种无穷
维离散和谱表示。为了说明方便,将式(16)及归一化特征函数 φ
n
(x)描述如下。
厄尔密特算子 L 的无穷维离散和表示式为
L=∑i=1∞λiϕ2i(x)L=∑i=1∞λiϕi2(x)
归一化特征函数离散表示式为
∑i=1∞ϕ2i(x)=1, ϕi(x)ϕj(x)=ϕ2i(x)ϕ2j(x)=0∑i=1∞ϕi2(x)=1,
ϕi(x)ϕj(x)=ϕi2(x)ϕj2(x)=0
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