【航程计算的数学模型】涉及的是在数学建模中如何计算飞机航线的最短时间和距离。该模型主要探讨了两种情况：地球被视为球体和地球被视为旋转椭球体。
在第一种模型（模型1）中，地球被简化为一个完美的球体。计算短程线（即测地线）时，利用了向量内积和夹角的关系。在这个直角坐标系统中，球心作为原点，z轴指向北极，x轴通过赤道的0°和180°经线，y轴垂直于x轴和z轴。球面上的点可以用球面坐标(Υ, Η)表示，Υ对应北纬，Η对应东经。通过将地理坐标转换为球面坐标，可以利用向量间夹角的余弦公式来求解两点间的球面上大圆弧（最短路径）的长度。具体来说，如果两点的球面坐标为 (Υ1, Η1) 和 (Υ2, Η2)，它们之间的大圆劣弧可以通过向量的内积和夹角计算得出。
第二种模型（模型2）考虑了地球实际上是一个旋转椭球体的情况。这时，需要用到微分几何中的测地线方程来解决航线问题。将地球的纬度和经度转换为椭球体上的对应值，然后求解椭球面上的最短路径。对于某些特殊点，由于它们的纬度或经度非常接近，直接计算测地线变得困难，这时可以采用椭圆弧近似代替。利用Mathematica等软件可以精确计算出这些近似路径的长度。
文章的重点在于比较这两种模型下，从北京出发，经过北极飞往底特律的航线与直接连接两地的航线所需时间的差异。在假设飞机保持恒定飞行高度10千米且以980千米/小时的速度匀速飞行的情况下，问题转化为计算航程差。通过这两个模型的计算，可以分析出哪种航线更节省时间，以及在地球的实际形状和物理条件下，这种节省是如何实现的。
航程计算的数学模型不仅涉及到几何学、向量代数和微分几何，还涵盖了地理坐标系统和实际地球物理特性的考虑。这些模型为优化航线规划提供了理论依据，对于航空交通管理和飞行安全具有重要意义。
