数学建模-模型整理
数学建模中存在大量模型，本文将从三个方面对每个模型进行介绍：1.模型名称；2.模型解决什么维度的数学问题，有什么特点；3.模型操作的具体步骤。
以下思维导图将从分类、优化、预测、分类问题：
判别分析：又称“分辨法”，是在分类确定的条件下，根据某一研究对象的各种特征值判别其类型归属问题的一种多变量统计分析方法。
其基本原理是按照一定的判别准则，建立一个或多个判别函数；用研究对象的大量资料确定判别函数中的待定系数，并计算判别指标；据此即可确定某一样本属于何类。当得到一个新的样品数据，要确定该样品属于已知类型中哪一类，这类问题属于判别分析问题。
聚类分析：聚类分析或聚类是把相似的对象通过静态分类的方法分成不同的组别或者更多的子集，这样让在同一个子集中的成员对象都有相似的一些属性，常见的包括在坐标系中更加短的空间距离等。
聚类分析本身不是某一种特定的算法，而是一个大体上的需要解决的任务。它可以通过不同的算法来实现，这些算法在理解集群的构成以及如何有效地找到它们等方面有很大的不同。
神经网络分类：BP 神经网络是一种神经网络评价四个维度将常见的数学模型进行分类。
数学建模是应用数学解决实际问题的重要手段，涵盖了多种模型，包括分类、优化、预测和评价等。以下是对这些模型的详细阐述：
1. **分类问题**：
- **判别分析**：这是一种用于确定样本属于哪一已知类别的统计方法。它基于样本的特征值构建判别函数，通过计算判别指标来进行分类。
- **聚类分析**：聚类是将具有相似属性的对象分组的过程，没有预定义类别，通过算法找出内在的结构。常见的聚类方法有K-means、DBSCAN等。
- **神经网络分类**：如BP神经网络，通过多层神经元的连接与权重调整，实现对输入数据的分类。
2. **优化（规划）类问题**：
- **线性规划**：解决生产决策和投料问题，如使用MATLAB的linprog函数或lingo软件。
- **非线性规划**：包括选址问题和飞行管理问题，MATLAB的fmincon函数常用于求解。
- **整数规划**：如背包问题、指派问题、钢管切割问题，MATLAB的intlinprog函数处理此类问题。
- **蒙特卡洛模拟**：广泛应用于优化问题，通过随机抽样求解复杂问题的近似解。
3. **预测类问题**：
- **灰色预测**：适用于处理小样本、非平稳序列的数据预测。
- **数据插值与拟合**：通过曲线拟合方法，如多项式拟合，预测连续数据趋势。
- **时间序列法**：ARIMA模型、状态空间模型等用于分析时间序列数据的动态变化。
- **BP神经网络**：适用于非线性时间序列预测。
- **马尔可夫预测**：基于状态转移概率矩阵对未来状态进行预测。
4. **评价类问题**：
- **优劣解距离法**：通过计算目标函数值的差距评价解的优劣。
- **层次分析法（AHP）**：用于多准则决策，将复杂问题分解为层次结构，通过比较判断矩阵确定权重。
- **模糊综合评价法**：处理模糊和不确定信息的评价方法。
- **灰色关联分析法**：衡量两组数据之间的关联程度。
- **典型相关分析法**：寻找两组变量间的最大相关性。
- **主成分分析法**：降维技术，将多维数据转换为少数主成分。
- **因子分析法**：挖掘数据背后潜在的因子，减少变量数量。
5. **机理分析类问题**：
- **微分方程模型**：描述系统动态行为，如传染病模型、化学反应动力学等。
- **统计分析模型**：如正态分布的均值假设检验，用于验证数据是否符合正态分布。
- **相关系数分析**：度量两个变量间线性关系的强度和方向。
- **回归分析**：找出自变量与因变量之间的关系，如线性回归、逻辑回归。
- **秩和检验**：非参数检验，如Mann-Whitney U检验、Kruskal-Wallis H检验。
- **卡方检验**：检验分类变量之间关联性的显著性。
- **均值T检验**：比较两组独立或配对样本均值的差异。
6. **动态模型**：
- **排队论**：研究系统中等待和服务的现象，如M/M/S/∞、M/M/S/S、混合型及闭合型系统，常通过计算机模拟或微分方程模型求解。
- **微分方程模型**：描述系统的动态变化，如连续时间系统的数学表达。
- **差分方程模型**：离散时间系统的动态表示。
- **元胞自动机**：模拟复杂系统，如地理、生物现象。
- **蒙特卡洛模拟**：通过随机抽样估计系统行为，尤其适用于难以解析求解的情况。
这些模型构成了数学建模的基石，通过选择合适的模型和方法，我们可以对现实世界的复杂问题进行有效的数学描述和解决。
