线性代数应该这样讲（二）.pdf
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线性代数应该这样讲（⼆）
原创
⼣⼩瑶
2017-05-26⼣⼩瑶的卖萌屋
在《...（⼀）》中，⼩⼣从映射的⻆度讲解了矩阵及矩阵运算，这也是机器学习中看待矩阵的⾮常重要的视⻆。
另⼀⽅⾯说，矩阵当然也是⽤于存储数据的数据结构，这也是最好理解的形式。另外还可以看做是⼀个线性⽅程
组（课本上讲烂了的开头），甚⾄可以将其仅仅看做⼀般化的张量（tensor）中的⼀个普通切⽚（slice），或者说其
中⼀层。所以矩阵代表什么含义，要在不同的场景中灵活对待，不要局限在⼀种视⻆哦。
继续从映射的视⻆来看。
⼩⼣说，不同的矩阵就代表着不同的映射，就像上⼀篇⽂章讲的， 就可以表⽰“将输⼊的空间的第
⼀个维度的坐标轴缩短为原来的⼀半，将第⼆个维度的坐标轴拉伸为原来的两倍”。这就是这个矩阵的含义。
例如，输⼊⼀个⼆维空间⾥的多个样本点：
⽐如
此时的矩阵就是存储数据的视⻆啦。这⾥的矩阵就是每⼀⾏就是空间中的⼀个样本点，所以这个矩阵就代表⼆
维空间⾥的3个样本点。
所以将A中这个空间的三个样本丢给W这个映射，就得到了三个样本在新的空间的镜像点（跟⾼⼀时学的集合的
映射是⼀个概念）：
看，是不是新得到的三个样本的第⼀维都被压缩成了原来的⼀半，⽽第⼆维被拉伸成了原来的两倍呢~
⽽神经⽹络中，每⼀层的输出经过权重矩阵，映射到下⼀层的输⼊的过程，就是上述这个过程哦（没有理解的再
看看这篇⽂章《神经⽹络激活函数》）
好啦。从映射的视⻆接着⾛。那么既然矩阵是描述映射的，那么肯定会有更严谨，更直观的形式去描述⼀个矩阵
背后所暗⽰的映射规则。这个更直观的形式是什么呢？
好，然后我们将映射 更加夸张⼀下，我们来看映射 。显然，按照⼩⼣之前的讲
解，这个映射就代表将第⼀维度压缩为原来的0.99倍（⼏乎没有变化！），将第⼆维度拉伸为原来的100倍（显然
变化⼗分极其⾮常的⼤）。这个映射的作⽤对象很明显：
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