多元微分学是数学中的一个重要领域，特别是在解决涉及多个变量的几何问题时。第12讲的主题聚焦于多元微分的几何应用，这涉及到曲面、曲线以及它们在空间中的性质。
曲面在数学中是二维的，但在三维空间中存在。曲面可以由一个方程来定义，例如，\( F(u, v, z) = 0 \)，其中\( u \)和\( v \)是参数，\( z \)是函数值。曲面的类型包括柱面和平面，柱面的母线平行于某个坐标轴，而平面则是由一个线性方程定义的，如\( Ax + By + Cz + D = 0 \)。例如，\( z = x^2 + y^2 \)表示一个旋转曲面，这是由\( x \)和\( y \)的平方和的平方根生成的。
特殊曲面如柱面和旋转曲面，是由特定规则生成的。例如，柱面可以由一个二维曲线沿一个轴旋转得到，而旋转曲面则是由一个曲线绕着另一个不随它旋转的轴旋转而成。在给出的例子中，\( Z = \sqrt{x^2 + y^2 - 1} \)表示一个球面的一部分，它是\( x^2 + y^2 \)的平方根减去1的结果，即单位半径球的上半部分。
曲面的切平面和法线是理解其几何特性的关键。对于曲面上的任意点\( M \)，切平面是通过该点并与曲面相切的平面，它的法向量是曲面在该点的梯度。如果曲面由函数\( F(x, y, z) \)定义，那么法向量为\( \nabla F = (\frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z}) \)。法线是垂直于曲面并指向切平面上的外侧的直线。
空间曲线是曲面在三维空间中的轨迹，它们可以由参数方程或一般方程表示。参数方程通常是\( x(t), y(t), z(t) \)，而一般方程描述的是曲线在空间中的投影，例如，平面曲线可能是两个坐标之间的函数关系，如\( z = f(x, y) \)。曲线的切线可以通过曲线速度向量得到，它是参数方程的导数，法平面则与切线正交，包含曲线在该点的切线。
退化曲线，比如直线，可以用点向式\( \vec{r} = \vec{r_0} + t\vec{v} \)来描述，其中\( \vec{r_0} \)是起点，\( \vec{v} \)是方向向量。而曲线的切向量\( T \)和法向量\( N \)是描述曲线局部方向和形状的重要工具。
多元微分的几何应用涵盖了曲面的定义、特殊类型、切平面和法线的计算，以及空间曲线的参数化和几何特性。这些概念在物理学、工程学以及计算机图形学等领域中都有广泛的应用。通过深入理解这些知识，我们可以更好地理解和描述复杂的空间结构。
