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华南理工大学《线代》期末考试复习资料.pdf
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华南理工大学《线代》期末考试复习资料
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《2010-11(上)线性代数》试卷
《2010-11(上)线性代数》试卷第 1 页 共 2 页
一、
填空题(共 20 分)
1.
设 A 是
nm
矩阵,B 是列向量,那么线性方程组 AX=B 有唯一解的充要条件是:
2.
设 A 是实矩阵,则 A
T
A 是正定二次型的矩阵的充要条件是:______________
3.
如果将单位矩阵 E 的第 i 行乘 k 得到的矩阵设为 P(i(k)),那么 P(i(k))
的逆矩阵是:_____________________________
4.
若 A 为 2011 阶正交矩阵,A
*
是 A 的伴随矩阵,则 det ((detA
T
)A
*
)=_________
5.
将单位矩阵 E 的第 i 行乘 k 加到第 j 行得到的矩阵记为 P(i(k),j), 将矩阵
A 的第 i 列乘 k 加到第 j 列得到的矩阵= _____________________________
二、 选择题
(共 20 分)
1.
设α=(-123,93,-277,-161,12345),β=(3222,23,71,105,197233)。
则=( )
A, β
T
α=αβ
T
, B, β
T
α=α
T
β
C, β
T
+α=α+β
T
, D, (β
T
α)
T
=αβ
T
2.
若 M 为 m×n 矩阵,则( )
A, M 的行向量组与列向量组等价; B, M 的行空间与列空间相等;
C, M 的行空间与列空间维数相等; D, 以上都不对。
3.
若乘积 AB 为可逆方阵,则以下命题哪一个成立( )
A,
( )
T T T
AB A B
, B,
( )
T T T
A B A B
C,
1 1 1
( )AB A B
, D,
1 1 1
( )A B A B
4.
若 A 是 n 阶正定矩阵,
*
A
是 A 的伴随矩阵,则以下命题哪一个不成立:( )
A,矩阵
T
A
为正定矩阵, B,矩阵
*
A
为正定矩阵
C,矩阵
1
A
为正定矩阵, D,以上都不对
5.
如果
n(n>1)
阶矩阵 M 的行列式不为 0,那么以下命题哪一个不成立:( )
A, M 的行向量有一部分线性相关, B,M 可以仅用初等列变换化为单位矩阵;
C, M 可表示为初等矩阵的乘积, D,以 M 为系数矩阵的线性方程组仅有零解
三、判断下面的命题是否正确(每小题 4 分,共 12 分)(二学分的只需要给出判
断,三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例)
(1) 已知 A,B 是 n 阶矩阵。如果 rank(A)=rank(B),那么对于任意的 n 阶
矩阵 C, rank(AC)=rank(BC)。
(2) 如果一个矩阵的行向量组线性无关,列向量组也线性无关,那么它是可逆
的。
(3) 如果一个实对称矩阵 A 的特征值皆大于 0,那么它是正定的。
四、解下列各题(每小题 7 分共 14 分)
创创大帝
创创大帝
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《2010-11(上)线性代数》试卷
《2010-11(上)线性代数》试卷第 2 页 共 2 页
1.设向量
与
1 1 1
1 0 1
3 1 3
A
的行向量都是正交的。将
扩充为 R
3
的一个正交基.
2. 设 n 阶方阵
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
A
, 计算 P(2(2),1)AP(3(3),2)。
五. 求矩阵
2 2 0 1 4
4 4 8 0 2
3 3 2 1 1
A
前两个行向量的夹角以及 A 的列向量组的
一个最大无关组。 (8 分)
六.六.证明题(8 分) 设
A
是
n
阶矩阵,
*
A
是 A 的伴随矩阵。如果
A
不可逆,
证明
*
A
的秩小于或等于
1
。
七.(6 分)设 A=
1
a
2
b c
是一个 2 阶的正交矩阵,行列式等于 1.求实数 a,b,c。
八、
(12 分)用正交变换化下列二次型为标准型,并写出该正交变换所对应的矩
阵。
2
2 2 2
1 2 3 1 3 1 2 1 3 2 3
( , , ) + 2 2 2f x x x x x x x x x x x x
创创大帝
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《2010-11(上)线性代数》试卷第 1 页 共 6 页
诚信应考
,
考试作弊将带来严重后果!
华南理工大学期末考试(A 卷)
《2011-12 线性代数(上)》试卷
注意事项:1. 考前请将密封线内各项信息填写清楚;
2. 所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上);
3.考试形式:闭卷;
4. 本试卷共 八 大题,满分 100 分, 考试时间 120 分钟
。
题 号
一 二 三 四 五 六 七 八 总分
得 分
评卷人
一、 填空题(共 20 分)
1.设 A 是
nm
矩阵,B 是列向量,那么线性方程组 AX=B 有唯一解的充要条件是:
2.设 A 是实矩阵,则 A
T
A 是正定二次型的矩阵的充要条件是:
3.如果将单位矩阵 E 的第 i 行乘 k 得到的矩阵设为 P(i(k)),那么 P(i(k))
的逆矩阵是:
4. 若 A 为 2011 阶正交矩阵,A
*
是 A 的伴随矩阵,则 det ((detA
T
)A
*
)=
5.将单位矩阵 E 的第 i 行乘 k 加到第 j 行得到的矩阵记为 P(i(k),j), 将矩阵
A 的第 i 列乘 k 加到第 j 列得到的矩阵=
二、 选择题(共 20 分)
1.设α=(-123,93,-277,-161,12345),β=(3222,23,71,105,197233)。
则=
A, β
T
α=αβ
T
, B, β
T
α=α
T
β
C, β
T
+α=α+β
T
, D, (β
T
α)
T
=αβ
T
2.若 M 为 m×n 矩阵,则
A, M 的行向量组与列向量组等价; B, M 的行空间与列空间相等;
C, M 的行空间与列空间维数相等; D, 以上都不对。
3.若乘积 AB 为可逆方阵,则以下命题哪一个成立
_____________ ________
…
姓名
学号
学院 专
业 座位号
(
密 封 线 内 不 答 题
)
… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 密 … … … … …
… … … … … … … … … … … … … 封 … … … … … …
… … … … … … … … … 线 … … … … … … … … … … … … … …
线………………………………………
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《2010-11(上)线性代数》试卷第 2 页 共 6 页
A,
( )
T T T
AB A B
, B,
( )
T T T
A B A B
C,
1 1 1
( )AB A B
, D,
1 1 1
( )A B A B
4.
若 A 是 n 阶正定矩阵,
*
A
是 A 的伴随矩阵,则以下命题哪一个不成立:
A,矩阵
T
A
为正定矩阵, B,矩阵
*
A
为正定矩阵
C,矩阵
1
A
为正定矩阵, D,以上都不对
5.
如果
n(n>1)
阶矩阵 M 的行列式不为 0,那么以下命题哪一个不成立:
A, M 的行向量有一部分线性相关, B,M 可以仅用初等列变换化为单位矩阵;
C, M 可表示为初等矩阵的乘积, D,以 M 为系数矩阵的线性方程组仅有零解
三、判断下面的命题是否正确(每小题 4 分,共 12 分)(二学分的只需要给出判
断,三学分的要求说明正确的理由或举出不正确的反例)
(1) 已知 A,B 是 n 阶矩阵。如果 rank(A)=rank(B),那么对于任意的 n 阶
矩阵 C, rank(AC)=rank(BC)。
(2) 如果一个矩阵的行向量组线性无关,列向量组也线性无关,那么它是可逆
的。
(3) 如果一个实对称矩阵 A 的特征值皆大于 0,那么它是正定的。
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《2010-11(上)线性代数》试卷第 3 页 共 6 页
四、解下列各题(每小题 7 分共 14 分)
1.设向量
与
1 1 1
1 0 1
3 1 3
A
的行向量都是正交的。将
扩充为 R
3
的一个正交基.
2. 设 n 阶方阵
1 1 1 1
1 1 -1 -1
1 -1 1 -1
1 -1 -1 1
A
, 计算 P(2(2),1)AP(3(3),2)。
创创大帝
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