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江西农业大学《离散数学》期末考试复习资料.pdf
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江西农业大学《离散数学》期末考试复习资
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江西农业大学《离散数学》课程试卷
适用专业:计算机 考试日期:2012/6/20 闭卷
所需时间:120 分钟 总分:100 分
一. 单项选择题。(共 20 分,每题 2 分)
1.
设命题公式
G=(P
∧
Q)
→
P,
则
G
是
( D ).
A.
恒假的
. .B
析取范式
. C.
可满足的
. D.
恒真的
2.
下列度数列不可图化的是(
B
) 254
A. (3,3,3,1) B. (5,5,4,4,2,1)
C. (5,4,3,2,2) D. (4,4,3,3,2,2)
3.
设集合
A
=
{1,2,3,4},A
上的关系
R
=
{(1,1), (2,3), (2,4), (3,4)},
则
R
具有
(
B
)
114
A.
自反性;
B
.传递性;
C
.对称性;
D
.以上答案都不对
.
4.
设
(
B
)闭包
.116
A.
自反;
B
.对称;
C
.传递;
D
.以上都不是
.
5
、设
X
,
Y
为集合,当(
D
)时,
X
-
Y
=
Y.93
A.X=Y; B. ; C. ; D.
6、设 G 是群,G 中有(
D
)个元素,则不能肯定 G 是交换群。203
A. 1 B. 2 C. 3 D. 6
7
、设
G
是有
6
个元素的循环群
,a
是生成元素
,
则
G
的子集
( C )
是子群
.
A. {a}; B. {a, e}; C. {e, a3}; D. {e, a, a2};
8
、下面的图是 (
C
)
A.
完全图;
B.
平面图;
278 C.
哈密顿图;
D.
欧拉图
9
、
G
是连通的平面图,有
5
个顶点,
6
个面,则
G
的边数为( )。
A
、
6
;
B. 5
;
C. 11
;
D. 9
。
10、若复合映射
是满射,则 ( )。143
A
是满射
B
是满射
C
是单射
D
是单射
二.填空题 (共 20 分,每空 2 分)
2、设 p、q 为命题变项,则(
p
q)的成真赋值为
/0,1/
。12
∪∪3、设 A 与 B 是两个有限集合,则包含排斥定理|A∪B|=
|A|+|B|-|A
∩
B|
___.
∪4、设集合 A={a, b, c, d},A 上的关系 R={(a, a),(a, c),(b, d)},
则关系 =___
{(a,a),(a,c),(b,d)}
________.
5
、设
G
是由
12
个元素构成的循环群
,a
是
G
的一个生成元素
,
则
G
有
个子群;
G
的生成元素集合是
.
6
、一个结点为
n
的无向完全图,其边的数目为
n(n-1)/2
。
7
、设集合
A
=
{a, b, c, d, e},A
上的偏序关系
R
的哈斯图下图所示,则
A
的极大元为
_____a______,
极小元为
_____c,d_____.13/
8.设 A={a,b},,则 P(A)=
$ ,{a},{b},{a,b}
。
注释
:
P(A)为幂集
9. A={2,3,5},A 上的关系 R={(2,3),(2,2)},R 的自反闭包
为
{(2,3),(2,2),(3,3),(5,5)}
三、计算题和证明题(
60
分)
1
、求命题公式
G
的主析取范式
,
其中
G=
﹁
(P
→﹁
Q
∨﹁
R)
∨﹁
((P
∨
Q)
∧
(Q
∨
R)).
(
8
分)
2、构造下面推理的证明(10 分)37
若数
a
是实数,则它不是有理数就是无理数。若
a
不能表示成分数,
则它不是有理数。a 是实数且它不能表示成分数,所以 a 是无理数。
3、无向图 G 有 8 条边,1 个 1 度顶点,2 个 2 度顶点,1 个 5 度顶点,其
余顶点的度数均为 3,求 G 中 3 度顶点的个数。(8 分)
4、设集合 A={1, 2, 3},R 和 S 是 A 上的两个关系,它们的关系矩阵为:
(10 分)
1 1 0 1 1 1
1 1 1 0 0 1 .
1 0 1 0 0 0
R S
M M
(1)
写出关系
R
和
S
的集合表达式,
(2)
画出
R
和
S
的关系图,
11/
5 设 A,B 为任意集合,证明:B ∪ ~((~A ∪ B) ∩ A) = E.(8 分)
6 证明等价式:((A
B)→C)
(B→(D
C))
(B
(D→A))→C。(8 分)
7.集合 S={a,b,c}上的二元运算*的运算表如下,求出它的幺元、零元及
所有可逆元素的逆元(如果存在的话)。(8 分)
* a b c
a a a a
b a b c
c a c c
院系:—————— 专
业班级:——————— 姓名
:————
———
学号:
—————
—
上的两个关系,其中=是集合 }4,3,2,1{A,
21
RR
)}4,4(),32(),22(),11{(R
1
,,,=
的是则
122
R)}.4,4(),2,3(),3,2(),2,2(),1,1{( RR
YX
YX
.
YX
2
R
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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离散试卷及答案
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离散数学试题(A 卷及答案)
一、证明题(10 分)
1)(
P∧(
Q∧R))∨(Q∧R)∨(P∧R)
R
证明: 左端
(
P∧
Q∧R)∨((Q∨P)∧R)
((
P∧
Q)∧R))∨((Q∨P)∧R)
((P∨Q)∧R)∨((Q∨P)∧R)((P∨Q)∨(Q∨P))∧R
((P∨Q)∨(P∨Q))∧RT∧R(置换)R
2)x(A(x)B(x)) xA(x)xB(x)
证明:
x(A(x)
B(x))
x(
A(x)∨B(x))
x
A(x)∨
xB(x)
xA(x)∨
xB(x)
xA(x)
xB(x)
二、求命题公式(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)的主析取范式和主合取范式(10 分)
证明:(P∨(Q∧R))(P∧Q∧R)(P∨(Q∧R))∨(P∧Q∧R))
(
P∧(
Q∨
R))∨(P∧Q∧R)
(
P∧
Q)∨(
P∧
R))∨(P∧Q∧R)
(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R)∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R))∨(P∧Q∧R)
m0∨m1∨m2∨m7
M3∨M4∨M5∨M6
三、推理证明题(10 分)
1) C∨D, (C∨D) E, E(A∧B), (A∧B)(R∨
S)R∨S
证明:(1) (C∨D)
E
(2)
E
(A∧
B)
(3) (C∨D)
(A∧
B)
(4) (A∧B)(R∨S)
(5) (C∨D)(R∨S)
(6) C∨D
(7) R∨S
2) x(P(x)Q(y)∧R(x)),xP(x)Q(y)∧x(P(x)∧
R(x))
证明(1)xP(x)
(2)P(a)
(3)
x(P(x)
Q(y)∧R(x))
(4)P(a)
Q(y)∧R(a)
(5)Q(y)∧R(a)
(6)Q(y)
(7)R(a)
(8)P(a)
(9)P(a)∧R(a)
(10)x(P(x)∧R(x))
(11)Q(y)∧x(P(x)∧R(x))
四、设
m
是一个取定的正整数,证明:在任取
m
+1 个整数中,至少有两个整数,它们的差是
m
的整数倍
证明 设
1
a
,
2
a
,…,
1m
a
为任取的
m
+1 个整数,用
m
去除它们所得余数只能是 0,1,…,
m
-1,由抽屉原理可知,
1
a
,
2
a
,…,
1m
a
这
m
+1 个整数中至少存在两个数
s
a
和
t
a
,它们被
m
除所得余数相同,因此
s
a
和
t
a
的差是
m
的整
数倍。
五、已知 A、B、C 是三个集合,证明 A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C) (15 分)
证明 ∵x A-(B∪C) x A∧x(B∪C) x A∧(xB∧xC) (x A∧xB)∧(x A∧xC) x(A-B)
∧x(A-C) x(A-B)∩(A-C)∴A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
六、已知 R、S 是 N 上的关系,其定义如下:R={<x,y>| x,yN∧y=x
2
},S={<x,y>| x,yN∧y=x+1}。求 R
-1
、R*S、S*R、
R {1,2}、S[{1,2}](10 分)
解:R
-1
={<y,x>| x,yN∧y=x
2
},R*S={<x,y>| x,yN∧y=x
2
+1},S*R={<x,y>| x,yN∧y=(x+1)
2
},
七、若 f:A→B 和 g:B→C 是双射,则(gf)
-1
=f
-1
g
-1
(10 分)。
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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离散试卷及答案
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证明:因为 f、g 是双射,所以 gf:A→C 是双射,所以 gf 有逆函数(gf)
-1
:C→A。同理可推 f
-1
g
-1
:C→A 是双射。
因为<x,y>∈f
-1
g
-1
存在 z(<x,z>∈g
-1
<z,y>∈f
-1
)
存在 z(<y,z>∈f
<z,x>∈g)
<y,x>∈gf
<x,y>∈(gf)
-1
,
所以(gf)
-1
=f
-1
g
-1
。
R {1,2}={<1,1>,<2,4>},S[{1,2}]={1,4}。
八、(15 分)设<
A
,*>是半群,对
A
中任意元
a
和
b
,如
a
≠
b
必有
a
*
b
≠
b
*
a
,证明:
(1)对
A
中每个元
a
,有
a
*
a
=
a
。
(2)对
A
中任意元
a
和
b
,有
a
*
b
*
a
=
a
。
(3)对
A
中任意元
a、b
和
c
,有
a
*
b
*
c
=
a
*
c
。
证明 由题意可知,若
a
*
b
=
b
*
a
,则必有
a
=
b
。
(1)由(
a
*
a
)*
a
=
a
*(
a
*
a
),所以
a
*
a
=
a
。
(2)由
a
*(
a
*
b
*
a
)=(
a
*
a
)*(
b
*
a
)=
a
*
b
*(
a
*
a
)=(
a
*
b
*
a
)*
a
,所以有
a
*
b
*
a
=
a
。
(3)由(
a
*
c
)*(
a
*
b
*
c
)=(
a
*
c
*
a
)*(
b
*
c
)=
a
*(
b
*
c
)=(
a
*
b
)*
c
=(
a
*
b
)*(
c
*
a
*
c
)=(
a
*
b
*
c
)*(
a
*
c
),所以有
a
*
b
*
c
=
a
*
c
。
九、给定简单无向图
G
=<
V
,
E
>,且|
V
|=
m
,|
E
|=
n
。试证:若
n
≥
2
1m
C
+2,则
G
是哈密尔顿图
证明 若
n
≥
2
1m
C
+2,则 2
n
≥
m
2
-3
m
+6 (1)。
若存在两个不相邻结点
u
、
v
使得 d(
u
)+d(
v
)<
m
,则有 2
n
=
Vw
wd )(
<
m
+(
m
-2)(
m
-3)+
m
=
m
2
-3
m
+6,与(1)矛
盾。所以,对于
G
中任意两个不相邻结点
u
、
v
都有 d(
u
)+d(
v
)≥
m
,所以
G
是哈密尔顿图。
离散数学试题(B 卷及答案)
一、证明题(10 分)
1)((P∨Q)∧
(
P∧(
Q∨
R)))∨(
P∧
Q)∨(
P∧
R)
T
证明 左端((P∨Q)∧(P∨(Q∧R)))∨((P∨Q)∧(P∨R))(摩根律) ((P∨Q)∧(P∨Q)∧(P∨R))∨((P∨Q)∧(P∨
R))(分配律)
((P∨Q)∧(P∨R))∨
((P∨Q)∧(P∨R)) (等幂律)
T (代入)
2)
x(P(x)
Q(x))∧
xP(x)
x(P(x)∧Q(x))
证明
x(P(x)
Q(x))∧
xP(x)
x((P(x)
Q(x)∧P(x))
x((
P(x)∨Q(x)∧P(x))
x(P(x)∧Q(x))
xP(x)∧
xQ(x)x(P(x)∧Q(x))
二、求命题公式(PQ)(P∨Q) 的主析取范式和主合取范式(10 分)
解:(PQ)(P∨Q)(PQ)∨(P∨Q)(P∨Q)∨(P∨Q)(P∧Q)∨(P∨Q) (P∨P∨Q)∧(Q∨P∨
Q)(P∨Q)M1m0∨m2∨m3
三、推理证明题(10 分)
1)(P(QS))∧(R∨P)∧QRS
证明:(1)R 附加前提
(2)
R∨P P
(3)P T(1)(2),I
(4)P(QS) P
(5)QS T(3)(4),I
(6)Q P
(7)S T(5)(6),I
(8)RS CP
2)
x(P(x)∨Q(x)),
x
P(x)
x Q(x)
证明:(1)
x
P(x) P
(2)P(c) T(1),US
(3)x(P(x)∨Q(x)) P
(4)P(c)∨Q(c) T(3),US
(5)Q(c) T(2)(4),I
(6)x Q(x) T(5),EG
四、例 5 在边长为 1 的正方形内任意放置九个点,证明其中必存在三个点,使得由它们组成的三角形(可能是退化的)面积不超
过 1/8(10 分)。
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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创创大帝
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创创大帝
创创大帝
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离散试卷及答案
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证明:把边长为 1 的正方形分成四个全等的小正方形,则至少有一个小正方形内有三个点,它们组成的三角形(可能是退化的)
面积不超过小正方形的一半,即 1/8。
五、已知 A、B、C 是三个集合,证明 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) (10 分)
证明:∵x
A∩(B∪C)
x
A∧x
(B∪C)
x
A∧(x
B∨x
C)
( x
A∧x
B)∨(x
A∧x
C)
x
(A∩B)∨
x
A∩C
x
(A∩B)∪(A∩C)∴A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)
六、
={A
1
,A
2
,…,A
n
}是集合 A 的一个划分,定义 R={<a,b>|a、b∈A
i
,I=1,2,…,n},则 R 是 A 上的等价关系(15 分)。
证明:a∈A 必有 i 使得 a∈A
i
,由定义知 aRa,故 R 自反。
a,b∈A,若 aRb ,则 a,b∈A
i
,即 b,a∈A
i
,所以 bRa,故 R 对称。
a,b,c∈A,若 aRb 且 bRc,则 a,b∈A
i
及 b,c∈A
j
。因为 i≠j 时 A
i
∩A
j
=,故 i=j,即 a,b,c∈A
i
,所以 aRc,故 R 传递。
总之 R 是 A 上的等价关系。
七、若 f:A→B 是双射,则 f
-1
:B→A 是双射(15 分)。
证明: 对任意的 x∈A,因为 f 是从 A 到 B 的函数,故存在 y∈B,使<x,y>∈f,<y,x>∈f
-1
。所以,f
-1
是满射。
对任意的 x∈A,若存在 y
1
,y
2
∈B,使得<y
1
,x>∈f
-1
且<y
2
,x>∈f
-1
,则有<x,y
1
>∈f 且<x,y
2
>∈f。因为 f 是函数,则 y
1
=y
2
。所
以,f
-1
是单射。 因此 f
-1
是双射。
八、设<
G
,*>是群,<
A
,*>和<
B
,*>是<
G
,*>的子群,证明:若
A
∪
B
=
G
,则
A
=
G
或
B
=
G
(10 分)。
证明 假设
A
≠
G
且
B
≠
G
,则存在
a
A
,
a
B
,且存在
b
B
,
b
A
(否则对任意的
a
A
,
a
B
,从而
A
B
,即
A
∪
B
=
B
,得
B
=
G
,
矛盾。)
对于元素
a
*
b
G
,若
a
*
b
A
,因
A
是子群,
a
-1
A
,从而
a
-1
* (
a
*
b
)=
b
A
,所以矛盾,故
a
*
b
A
。同理可证
a
*
b
B
,综合
有
a
*
b
A
∪
B
=
G
。
综上所述,假设不成立,得证
A
=
G
或
B
=
G
。
九、若无向图
G
是不连通的,证明
G
的补图
G
是连通的(10 分)。
证明 设无向图
G
是不连通的,其
k
个连通分支为
1
G
、
2
G
、…、
k
G
。任取结点
u
、
v
∈
G
,若
u
和
v
不在图
G
的同一个连通分
支中,则[
u
,
v
]不是图
G
的边,因而[
u
,
v
]是图
G
的边;若
u
和
v
在图
G
的同一个连通分支中,不妨设其在连通分支
i
G
(1
≤
i
≤
k
)中,在不同于
i
G
的另一连通分支上取一结点
w
,则[
u
,
w
]和[
w
,
v
]都不是图
G
的边,,因而[
u
,
w
]和[
w
,
v
]
都是
G
的边。综上可知,不管那种情况,
u
和
v
都是可达的。由
u
和
v
的任意性可知,
G
是连通的。
一、 选择题.(每小题 2 分,总计 30)
1. 给定语句如下:
(1)15 是素数(质数)
(2)10 能被 2 整除,3 是偶数。
(3)你下午有会吗?若无会,请到我这儿来!
(4)2x+3>0.
(5)只有 4 是偶数,3 才能被 2 整除。
(6)明年 5 月 1 日是晴天。
以上 6 个语句中,是简单命题的为(A),是复合命题的为(B),是真命题的为(C),是假命题的是(D),真值待定的命题是(E)
A: ①(1)(3)(4)(6) ②(1)(4)(6) ③(1)(6) B: ①(2)(4) ②(2)(4)(6) ③(2)(5)
C: ①(1)(2)(5)(6) ②无真命题 ③(5) D: ①(1)(2) ②无假命题 ③(1)(2)(4)(5)
E: ①(4)(6) ②(6) ③ 无真值待定的命题
2. 将下列语句符号化:
(1)4 是偶数或是奇数。(A)设 p:4 是偶数,q:4 是奇数
(2)只有王荣努力学习,她才能取得好成绩。(B)设 p:王荣努力学习,q:王荣取得好成绩
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离散试卷及答案
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(3)每列火车都比某些汽车快。(C)设 F(x):x 是火车,G(y):y 是汽车,H(x,y):x 比 y 快。
A: ① p∨q ② p∧q ③ p→q B: ① p→q ② q→p ③ p∧q
C: ①
x
y
((F(x) ∧G(y)) → (H(x,y))②
x
(F(x) →
y
(G(y)∧H(x,y)))③
x
(F(x) ∧
y
(G(y)∧H(x,y)))
3. 设 S={1,2,3},下图给出了 S 上的 5 个关系,则它们只具有以下性质:R
1
是(A),R
2
是(B),R
3
是(C)。
A B C:①自反的,对称的,传递的 ②反自反的,对称的 ③自反的
4
反对称的 ⑤对称的 ⑥自反的,对称的,反对称的,传递的
4. 设S={Ф,{1},{1,2}},则有
(1)(A)
S (2) (B)
S
(3) P(S)有(C)个元数。 (4)(D)既是S的元素,又是S的子集
A: ① {1,2} ② 1 B: ③{{1,2}} ④{1}
C: ⑤ 3 ⑥ 6 ⑦ 7 ⑧ 8 D: ⑨ {1} ⑩Ф
二、证明(本大题共 2 小题,第 1 小题 10 分,第 2 小题 10 分,总计 20 分)
1、用等值演算算法证明等值式 (p∧q)∨(p∧
q)
p
2、构造下面命题推理的证明
如果今天是星期三,那么我有一次英语或数学测验;如果数学老师有事,那么没有数学测验;今天是星期三且数学老师有事,
所以我有一次英语测验。
三、计算(本大题共 4 小题,第 1 小题 5 分,第 2 小题 10 分,第 3 小题 15 分,
总计 30 分)
1、设
212, ,,个体域为为,整除为 xxQyxyxP
,求公式:
xQyxPyx ,
的真值。
2、设集合
AA ,4,3,2,1
上的关系
4,3,3,2,1,2,2,1,1,1R
,求出它的自反闭包,对称闭包和传递闭包。
3、设
,24,12,8,4,2,1A
上的整除关系
212121
,,, aaAaaaaR 整除
,
R
是否为
A
上的偏序关系?若是,则:
1、画出
R
的哈斯图;(10 分)
2、求它的极小元,最大元,极大元,最大元。(5 分)
四、用推导法求公式
pqp
的主析取范式和主合取范式。(本大题 10 分)
答案:
一、 选择题
1. A:③ B: ③ C:③ D:① E:② 2.A:① B: ② C:②
3.A:③ B: ④ C:⑥ 4.A:① B: ③ C:⑧ D:⑩
二、证明题
1. 证明 左边
((p∧q)∨p)∧((p∧q)∨
q)) (分配律)
p∧((p∧q)∨
q)) (吸收律)
p∧((p∨
q) ∧ (q∨
q)) (分配律)
p∧((p∨
q)∧1) (排中律)
p∧ (p∨
q) (同一律)
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资源评论
- qq_506477192022-06-23用户下载后在一定时间内未进行评价,系统默认好评。
- potatod1142023-08-12资源很不错,内容和描述一致,值得借鉴,赶紧学起来!
- congerjiede2023-03-15这个资源总结的也太全面了吧,内容详实,对我帮助很大。
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