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北京航空航天大学《数学竞赛》历年试题(含答案).pdf
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北京航空航天大学《数学竞赛》历年试题(含答案)
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1
北京航空航天大学
2010 年数学竞赛答案
一.填空题(本题共
60
分)
1.
设函数
)(xf
在区间
),0(
内连续,对任意正数
x
,有
)()(
2
xfxf
,且
5)3( f
,
则
)1(f
_______
5
________
2. 设
,
1
)(
2
5
x
x
xf
则
)(
)5(
xf
______
)
)1(
1
)1(
1
(
2
!5
66
xx
____________
3.
已知
)(xf
在
),(
内可导,且
2
)(lim
e
xf
x
,
)]1()1([lim)(lim
xfxf
cx
cx
x
x
x
,则
c
___
2
1
________
4.
已知
b
a
px
dxepx ,0)(
2010
)(3
则
.____________p
5.
当
p
满足
___
2p
_____
时,级数
p
n
n
n
n
!)!2(
!)!12(
)1(
4
1
1
绝对收敛
.
6.
1
2
1
)1(lim
_
n
n
x
nxx
______
1
_______
7. 已知
)4()( xfxf
,
0)0( f
,且在
]2,2(
上有
||)( xxf
,则
)9(f
____
2
1
____
8. 计算积分
1
0
1
0
)1(
2
0
2
2
dzedd
z
_____
)
1
1(
2 e
__________
9. 设
是 八 面 体
1|||||| zyx
的 表 面 , 则 积 分
dSzx
2
)32(
=______
3
3
118
_________
10.
设由曲线
xy
2
与直线
1x
所围的均匀薄片
(
面密度为
1
)
绕过原点的任意直
线的转动,则该转动惯量中的最小值为_________
15
4
___________
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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创创大帝
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创创大帝
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创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
2
二.
(
本题
10
分
)
设
sinsinsinsinsinsin
sinsinsin
R
)
2
0(
,
试问
,,
中哪一个的变动对 R 影响最大?
解
sin
1
sin
1
sin
1
R
1
,
两边取全微分
d
sin
cos
d
sin
cos
d
sin
cos
dR
R
1
2222
d
sin
cos
d
sin
cos
d
sin
cos
RdR
222
2
故
d
sin
cos
R
R
2
2
,
d
sin
cos
R
R
2
2
,
d
sin
cos
R
R
2
2
由于
2
0
, 所以
0
sin
cos
sin
cos
sin
cos
222
0
RRR
因此
的变动对 R 影响最大.
三、
(
本题
10
分
)
已知
dxxxa
n
n
2
2
2
0
sin)
4
(
.
(1)证明
12
)
4
(
12
1
n
n
n
a
;(2)求
0n
n
a
.
解:
dttta
n
n
2
2
2
0
cos)
4
(
dxxa
n
n
2
2
0
)
4
(
2
1
12
)
4
(
12
1
n
n
.
设
12
0
12
1
)(
n
n
x
n
xs
,
2
2
0
1
1
)('
x
xxS
n
n
,
,
1
1
ln
2
1
)(
x
x
xS
,
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
3
所以
.
4
4
ln
2
1
)
4
(
0
Sa
n
n
四、(本题 10 分) 计算曲面积分
,
)2(
2
3
222
zyx
zdxdyydzdxxdydz
其中
22
)2()1(6: yxz
的
0z
部分的外侧.
解: 作辅助曲面
充分小,rrzyx ,2:
2222
0
下侧;
)( yxyxrz 4210:
222
1
,下侧。
原式=
1010
,
,00
10
dv
,00
11
dxdy
00
3
1
zdxdyydzdxxdydz
r
.23
11
33
10
dxdydz
r
zdxdyydzdxxdydz
r
原式=
2
.
五、(本题 10 分) 求最小的实数 C, 使得满足
1
0
1d|)(| xxf
的连续函数都有
1
0
C)( dxxf
.
解: 一方面
1
0
1
0
1
0
2|)(|22tdtf(t))dxxf( dttf
。
另一方面, 取
n
n
xnxf )1()(
, 则
1)1(|)(|
1
0
1
0
dxxndxxf
n
n
,
而
)(2
2
1
2)1()(
2
1
0
1
0
n
n
n
dxxndxxf
n
n
因此最小的实数
C=2.
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
1
北京航空航天大学
2009
年数学竞赛试题
学号
_________________
考场
_______
座位号
_______
成绩
_________________
一、填空题(本题共 50 分)
1.
________
_
__________)
3
432
(lim
n
n
n
n
n
。
2. 设
,)1()( ,0
1
xxxf
x
则
______________)(lim
xxf
x
。
3. 当
nx
axxex 1)1ln(0 与时,
是等价无穷小,则
_______, an
。
4. 设
,
00
2
u
v
yx
dveduz
则
___________________
2
yx
z
。
5. 设
________________)( ,cossin)(
xfxxef
x
则
。
6. 求二重积分
1:___,__________)(
22
2
2
2
2
yxDdxdy
b
y
a
x
D
其中
。
7. 已知
0
2
2
0
_____________ ),0( ,
2
1
22
2
dx
x
ee
k
k
dxe
xx
kx
则
。
8.设曲线
,1:
2
xyL
起点和终点坐标依次为
)0,1(A
、
)1,0(B
,则变力
},{
2
xyyxF
沿该曲线做功为
_______________
。
9.已知
6
1
2
1
2
n
n
,则
___________
1
ln
1
0
dx
x
x
。
10.设有向曲面
,0,1: zzyx
外侧。则积分
zyx
dxdydzdxdydz
___________
。
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
2
二、 (10 分)设函数
,||)(
1
x
dtttxf
],1,1[x
试讨论函数
)( xf
的奇偶性,并求
1
1
)( dxxf
.
三、(10 分) 设
,1p
试判别级数
1
21
n
ppp
n
n
的敛散性.
四、(10 分)计算曲面积分
222
zyx
xdydz
I
.
其中
是曲面
222
Ryx
介于两平面
Rz
之间的那部分表面的外侧。
五、 (10 分)在曲面
)0(
2
2
2
2
hz
b
y
a
x
z
内如何作内接长方体,才能使得长方体的
体积最大?求最大体积。
六、设函数
)( xf
在
]1,0[
上连续,在
)1,0(
内可导,满足
1)1( ,0)0( ff
,且
.
2
1
)(
1
0
dxxf
试证明:在
)1,0(
内至少存在一点
,
使得
.0)(
f
北京航空航天大学
2009
年数学竞赛试题解答
一、填空题(每题 5 分)
1.
____________24_______)
3
432
(lim
3
n
n
n
n
n
2. 设
,)1()( ,0
1
xxxf
x
则
______0________)(lim
xxf
x
3. 当
nx
axxex 1)1ln(0 与时,
是等价无穷小,则
__
6
1
____,3_ an
4. 设
,
00
2
u
v
yx
dveduz
则
___________________
2
)(
2
yx
e
yx
z
5. 设
_____________)sin(ln___)( ,cossin)( Cxxxfxxef
x
则
6. 求二重积分
1:____,)
11
(
4
1
_)(
22
222
2
2
2
yxD
ba
dxdy
b
y
a
x
D
其中
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
创创大帝
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