根据给定的文件信息，我们可以总结出以下相关的数学知识点：
### 高等数学知识点解析
#### 填空题解析
1. **定义域的概念**：对于题目中的函数 \(z=\log(a^2+x^2+y^2)\)，定义域指的是使函数有意义的所有自变量的集合。对于对数函数而言，其内部表达式必须大于0，因此有 \(a^2+x^2+y^2>0\)。由于 \(a^2\) 总是非负数，且 \(x^2\) 和 \(y^2\) 也都是非负数，因此该不等式总是成立的，这意味着函数的定义域为所有实数对 \((x,y)\)。即 \(D=\mathbb{R}^2\)。
2. **二重积分的计算**：二重积分 \(\iint_{|x|\leq1,|y|\leq1}\ln(x^2+y^2)dxdy\) 的符号判断主要依赖于被积函数的性质。对于 \(\ln(x^2+y^2)\)，由于 \(x^2+y^2\) 在积分区间内总是大于0且最小值为0，所以被积函数在其定义域内总是非负的，但考虑到对数函数在接近0时的负无穷性，整体积分可能为负。然而，由于对称性，积分结果为0。
3. **曲线围成图形的面积**：题目中的图形由曲线 \(y=\ln x\) 和直线 \(y=x+1+e^{-1}\)，\(y=1\) 围成。首先找到交点，进而确定积分范围。然后利用二重积分来求解该图形的面积。具体地，面积 \(A\) 可表示为 \(A=\iint_D dxdy\)，其中 \(D\) 是由给定曲线围成的区域。计算得到 \(A\) 的值。
4. **弧长元素的计算**：给定参数方程 \(x=\phi(t)\), \(y=\psi(t)\)，弧长元素 \(ds\) 可表示为 \(ds=\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}dt\)。这里 \(\frac{dx}{dt}=\phi'(t)\), \(\frac{dy}{dt}=\psi'(t)\)，因此 \(ds=\sqrt{\left(\phi'(t)\right)^2+\left(\psi'(t)\right)^2}dt\)。
5. **曲面积分的计算**：曲面 \(\Sigma: x^2+y^2=9\) 介于 \(z=0\) 和 \(z=3\) 之间的部分的外侧。曲面的法向量可以通过偏导数计算得到。曲面积分 \(\iint_\Sigma (x+y+1)dS\) 的计算涉及曲面的参数化以及法向量的确定。
6. **一阶微分方程的通解**：微分方程 \(y+x\tan y = dx/dy\) 通过分离变量法可以求解。移项得到 \(\frac{dx}{dy}-\tan y=x\)，这是一个线性一阶微分方程，通过引入积分因子的方法求解通解。
7. **高阶微分方程的通解**：方程 \(y^{(4)}-4y''=0\) 通过特征方程的方法可以求解。特征方程为 \(r^4-4r^2=0\)，解得 \(r=0, \pm2\)，从而得到通解的形式。
8. **级数求和**：给定级数 \(\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1}/n\) 为交错调和级数的一个变种。利用莱布尼茨判别法可知该级数收敛，并且其和为 \(\ln 2\)。
#### 选择题解析
1. **多元函数的可微性**：根据多元函数可微性的定义，选项 (C) 描述了多元函数在某点可微的必要条件，而选项 (D) 描述了充分条件。
2. **复合函数的偏导数**：题目给出 \(u=f(x+y)+f(y-x)\)，要求计算 \(u_{xx}+u_{yy}\)。通过链式法则和偏导数的计算方法，最终得到 \(u_{xx}+u_{yy}=0\)。
3. **三重积分的计算**：三重积分 \(\iiint_{\Omega} zdV\) 其中 \(\Omega: z\geq0, z^2\leq x^2+y^2+1\)，表示的是一个空间区域内的体积积分。采用柱坐标系进行计算，得到选项 (A) 的形式。
4. **立体体积的计算**：给定球面 \(x^2+y^2+z^2=4a^2\) 和柱面 \(x^2+y^2=a^2\) 所围成的立体体积 \(V\)，采用柱坐标系进行计算，得到体积公式为 \(\int_0^{2\pi}\int_0^{\cos\theta}\int_{\sqrt{a^2-r^2}}^{2a-r^2} r dz dr d\theta\)，对应选项 (C)。
5. **格林公式应用**：格林公式表明闭合路径上的线积分等于该路径所围区域上的面积积分。根据题目给出的信息，应选择 \(\iint_D (\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)dxdy\)，对应选项 (A)。
6. **微分方程的阶数判断**：题目中给出的方程 \(y+x\tan y = dx/dy\) 属于一阶微分方程，而非三阶微分方程，故选项 (A) 错误。
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