北京林业大学《高等数学A下》期末复习资料.pdf

在高等数学的领域中，空间解析几何与向量代数是理解三维空间几何对象及其相互关系的基础。这部分知识不仅在数学领域中非常重要，在物理学、工程学以及计算机图形学等领域也具有广泛的应用。 关于点积（也称为数量积、内积），它是两个向量的一种运算，其结果是一个标量。点积定义为两个向量的对应分量乘积之和，其计算公式可以表示为： \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos \theta \] 其中，\(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\) 是两个向量，\(\theta\) 是这两个向量之间的夹角，\( |\vec{a}|\) 和 \( |\vec{b}|\) 分别表示两个向量的模长。点积还具有坐标表达式形式： \[ \vec{a} \cdot \vec{b} = a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z \] 通过点积可以判断两个向量是否垂直（若 \(\vec{a} \cdot \vec{b} = 0\)，则 \(\vec{a}\) 与 \(\vec{b}\) 垂直）。 接下来，关于向量积（也称为叉积、外积），它是两个向量的一种运算，结果是一个向量。向量积的方向垂直于原来两个向量构成的平面，并且符合右手定则。向量积的计算公式可以表示为： \[ \vec{a} \times \vec{b} = \left| \begin{array}{ccc} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ \end{array} \right| \] 向量积的坐标表达式是： \[ \vec{a} \times \vec{b} = (a_yb_z - a_zb_y)\vec{i} - (a_xb_z - a_zb_x)\vec{j} + (a_xb_y - a_yb_x)\vec{k} \] 点法式方程是描述平面的一种方式，它表示了一个平面和通过该平面上某一点的法向量。一般形式为： \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] 其中，\(A, B, C\) 是平面的法向量的分量，\(D\) 是常数项。若要通过三个不共线的点求平面方程，需要先求出这三个点构成的两个向量，然后用这两个向量的叉积得到垂直于该平面的向量，再利用其中一个点的坐标，就可以构建出平面的点法式方程。 空间直线可以有多种方程表示，包括一般方程、对称式方程和参数方程。一般方程的线性形式如下： \[ \frac{x-x_0}{m} = \frac{y-y_0}{n} = \frac{z-z_0}{p} \] 其中，\( (x_0, y_0, z_0) \) 是直线上的一个点，\( (m, n, p) \) 是直线的方向向量。 旋转曲面是一种三维曲面，它是通过将二维平面曲线绕一个轴旋转形成的。例如，若给定一个平面曲线 \( L: y = f(x) \)，围绕z轴旋转形成旋转曲面方程可以表示为： \[ x^2 + y^2 = z^2 \] 在求解实际问题时，我们常常需要计算点到平面的距离。给定点 \( M(x_0, y_0, z_0) \) 和平面 \( Ax + By + Cz + D = 0 \)，点到平面的距离公式为： \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}} \] 此外，空间中线与线、线与面之间的位置关系也很重要。例如，线与线的夹角可以通过它们的方向向量的点积与模长来计算，其公式为： \[ \cos \phi = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|} \] 当两直线垂直时，它们的方向向量的点积为零。 线与平面的关系可以通过法向量与直线方向向量的叉积来判断。若叉积结果与直线方向向量垂直，则直线垂直于平面；若叉积结果与直线方向向量平行，则直线平行于平面。 空间图形的方程通常可以通过截痕法来求解，即将空间图形在不同坐标平面（如xy平面、yz平面、xz平面）上的截痕方程联合起来描述空间图形。 本复习资料涉及了空间解析几何与向量代数中的基本概念和运算规则，以及点积、向量积在几何问题中的应用。对于北京林业大学《高等数学A下》的期末复习，掌握这些知识点是至关重要的。