随机过程习题解析
随机过程是概率论和数学统计的重要分支，它广泛应用于信号处理、通信、控制系统、金融工程等领域。本节习题涵盖随机过程的谱分析、平稳过程、线性系统、非线性系统等内容，为读者深入了解随机过程提供了良好的实践机会。
1.1 平稳过程的谱分析
设有一线性系统，其输入为零均值白高斯噪声，其功率谱密度为N₀。系统的冲激响应为ht(t) = αe^(-αt)，其中α为常数。令ξ(t) = η(t) - η(t - T)，其中T为常数，试求过程η(t)的一维概率密度函数。
这道题考察了读者对平稳过程的谱分析的理解，特别是如何计算过程的概率密度函数。解决这道题需要读者熟悉谱分析的基本概念，如功率谱密度、冲激响应等。
1.2 线性系统的输出分析
设有一确定性信号s(t)，在区间[0, T]内具有能量，n(t)为一零均值的白高斯过程，其相关函数为Rn(τ) = N₀δ(τ)。令η(t) = ∫[0, T] s(t)dt，试求：（1）给定一常数γ，求概率P{η > γ}；（2）给定一常数γ，求概率P{η > 2γ}。
这道题考察了读者对线性系统输出分析的理解，特别是如何计算输出的概率分布。解决这道题需要读者熟悉线性系统的基本概念，如相关函数、功率谱密度等。
1.3 非线性系统的输出分析
设有一非线性系统，其输入为零均值平稳实高斯过程，其协方差函数为C(τα) = Pe^(-α|τ|)，其中P为常数。系统的输出为ζ(t) = ∫[0, T] ξ(t)dt，试求：（1）输出均值E{ζ}；（2）输出方差D{ζ}；（3）设y = E{ζ²}/D{ζ}，画出对y的关系简图。
这道题考察了读者对非线性系统输出分析的理解，特别是如何计算输出的均值和方差。解决这道题需要读者熟悉非线性系统的基本概念，如协方差函数、相关函数等。
1.4 线性系统的输出分析
设有一线性系统，输入输出分别为ξ(t)和η(t)，其中输入过程ξ(t)为零均值平稳实高斯过程，其相关函数为Rξ(τ) = σ²e^(-α|τ|)，其中σ²为常数。系统的单位冲激响应为h(t) = βe^(-βt)，其中β为常数。若ξ(t)在t时接入系统，试求：（1）在时输出η(t > 0)大于y的概率P{η > y}；（2）求条件概率P{η > y|T}，其中T > 0；（3）求条件概率P{η > y|T}，其中T > 0。
这道题考察了读者对线性系统输出分析的理解，特别是如何计算输出的概率分布。解决这道题需要读者熟悉线性系统的基本概念，如相关函数、功率谱密度等。
1.5 实平稳过程的谱分析
设实平稳过程X(t)的自相关函数和功率谱密度分别为RX(τ)和SX(ω)，令随机过程Y(t) = X(at)，其中a为常数。试证明：（1）RX(τ) = a²RX(aτ)；（2）SX(ω) = |a|SX(aω)。
这道题考察了读者对实平稳过程的谱分析的理解，特别是如何计算自相关函数和功率谱密度。解决这道题需要读者熟悉谱分析的基本概念，如自相关函数、功率谱密度等。
