数值计算方法编程作业(C语言版).doc

根据提供的文档内容，我们可以归纳出三个主要的数值计算方法编程知识点：二分法求解非线性方程、牛顿法求解非线性方程以及列主元素消去法求解线性方程组。接下来，我们将针对这三个知识点进行详细的解析。 ### 一、二分法求解非线性方程 #### 算法原理： 二分法是一种通过不断缩小根所在区间来逼近根的方法。对于一个连续函数$f(x)$，如果在区间$[a, b]$内$f(a)f(b) < 0$（即两端点函数值异号），则可以确定该区间内至少存在一个实根。算法步骤如下： 1. 初始化：设置初始搜索区间$[a, b]$，并指定容许误差$\epsilon$。 2. 计算区间中点$x = \frac{a + b}{2}$。 3. 检查$f(a)f(x)$的符号： - 若$f(a)f(x) < 0$，则根在$a$和$x$之间，令$b = x$； - 若$f(a)f(x) > 0$，则根在$x$和$b$之间，令$a = x$； - 若$f(a)f(x) = 0$，则$x$就是根，结束循环。 4. 检查是否达到精度要求：若$|b - a| \leq \epsilon$，则取$x$为根的近似值；否则返回步骤2。 #### 示例代码分析： ```c #include<stdio.h> #include <math.h> #define f(x) ((x*x-1)*x-1) void main(){ float a, b, x, eps; int k = 0; printf("intput eps\n"); scanf("%f", &eps); printf("a,b=\n"); for (;;) { scanf("%f, %f", &a, &b); if (f(a) * f(b) >= 0) printf("二分法不可使用,请重新输入:\n"); else break; } do { x = (a + b) / 2; k++; if (f(a) * f(x) < 0) b = x; else if (f(a) * f(x) > 0) a = x; else break; } while (fabs(b - a) > eps); x = (a + b) / 2; printf("\n The root is x=%f, k=%d\n", x, k); } ``` ### 二、牛顿法求解非线性方程 #### 算法原理： 牛顿法是利用函数的导数来快速逼近根的一种方法。对于函数$f(x)$，设$x_0$为初值，则下一个近似值$x_1$由$x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)}$给出。重复这一过程直到达到精度要求。 #### 示例代码分析： ```c #include <stdio.h> #include <math.h> float f(float x) { return ((-3 * x + 4) * x - 5) * x + 6; } float f1(float x) { return (-9 * x + 8) * x - 5; } void main() { float eps, x0, x1 = 1.0; printf("input eps:\n"); scanf("%f", &eps); do { x0 = x1; x1 = x0 - f(x0) / f1(x0); } while (fabs(x1 - x0) > eps); printf("x=%f\n", x1); } ``` ### 三、列主元素消去法求解线性方程组 #### 算法原理： 列主元素消去法是一种通过交换行和列以确保每次操作中选择最大绝对值系数作为主元，从而减少舍入误差的影响的方法。这种方法适用于解决线性方程组问题。 1. 对于每个主元，找出该列中的最大绝对值，并通过行交换将其放置在对角线上。 2. 使用高斯消元法将方程组转换为上三角形式。 3. 通过回代求解未知数。 #### 示例代码分析： ```c #include<iostream> #include<cmath> #define N 20 using namespace std; void load(); float a[N][N]; int m; int main() { int i, j, c, k, n, p, r; float x[N], l[N][N], s, d; cout << "下面请输入未知数的个数 m="; cin >> m; cout << endl; cout << "请按顺序输入增广矩阵 a:" << endl; load(); for (i = 0; i < m; i++) { for (j = i; j < m; j++) c = (fabs(a[j][i]) > fabs(a[i][i])) ? j : i; // 找列最大元素 for (n = 0; n < m + 1; n++) { s = a[i][n]; a[i][n] = a[c][n]; a[c][n] = s; } // 将列最大数放在对角线上 for (p = 0; p < m + 1; p++) cout << a[i][p] << "\t"; cout << endl; for (k = i + 1; k < m; k++) { l[k][i] = a[k][i] / a[i][i]; for (r = i; r < m + 1; r++) a[k][r] = a[k][r] - l[k][i] * a[i][r]; // 化成三角阵 } } x[m - 1] = a[m - 1][m] / a[m - 1][m - 1]; for (i = m - 2; i >= 0; i--) { d = 0; for (j = i + 1; j < m; j++) d = d + a[i][j] * x[j]; x[i] = (a[i][m] - d) / a[i][i]; } } ``` 以上三个方法都是数值计算中非常重要的基础算法，通过这些算法的学习和实践，可以加深对数值计算方法的理解。